1820 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



M. Darboux ('). Si l'on fait K, = const., on est conduit aux classes de sur- 

 faces applicables dont M. Bianchi ( 2 ) a rattaché l'étude à la déformation 

 des congruences selon le mode indiqué par Ribaucour ( 3 ). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les différentielles totales et les fonctions 

 monogènes. Note de M. Paul Moxtel, présentée par M. Emile Picard. 



1 . La recherche des conditions permettant d'affirmer que l'expres- 

 sion p(x, y)dx -h q(x, y)dy est la différentielle totale d'une fonc- 

 tion z(x,y) dans un domaine D des variables x, y, a fait l'objet d'un 

 grand nombre de travaux, notamment de MM. Schwarz, Thomae, Dini, 

 W.-H. Young. 



En faisant l'hypothèse que p et q admettent des dérivées -~ et.-p- bor- 

 nées dans D, j'ai démontré que la condition nécessaire et suffisante pour 

 que pdx-hqdy soit une différentielle totale est que la relation -y- = y- 



soit vérifiée presque partout dans D ( 4 ). 



Je me placerai maintenant dans le cas où p et q sont des fonctions conti- 

 nues du point (x, y) et admettent des dérivées -y- et —- finies dans le 

 domaine D ( 5 ). On établit alors la proposition suivante : 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'expression pdx-hqdy, 

 dans laquelle p et q sont des fonctions continues du point (a?, y) dans un 



domaine D où elles admettent les dérivées partielles finies -y- et -y- > soit une 



(') Leçons sur ta théorie générale, des surfaces, t. IV, p. 3m. 



( 2 ) Annali di Mat., 3'' série, t. VI, 1901 ; voir aussi Lezioni, t. II, Chap. XX. 



( 3 ) Remarquons que, pour toute surface du deuxième et du quatrième type, (S,) est 

 le lieu des extrémités de oo 2 segments tangentiels, entraînés dans les déformations 

 de (S). 



( 4 ) Annales de l'École Normale, 3 e série, l. XXIV, 1907, p. 285. — M. de La Vallée- 

 Poussin a étendu ce résultat au cas où les nombres dérivés de q par rapport à x et 

 de p par rapport à y sont finis et sommables superficiellement (Acad. Belgique, 

 Fiull. classe Se., t. XII, 1910, p. 79a). 



( 5 ) On peut supposer seulement que les nombres dérivés de q par rapport à ,/ et 

 de p par rapport à y sont finis. J'ai montré récemment que les dérivées existent alors 

 presque partout {Comptes rendus, t. 155, 1912, p. 1^78). 



