SÉANCE DU 16 juin io,i3. 1821 



différentielle totale, est que la relation —■ = ~ soit vérifiée presque partout 

 dans le domaine 1 > . 



( )n peut remplacer, dans cet énoncé, l'hypothèse de la continuité de p 

 et q en {oc, y) par l'hypothèse que ces fonctions soient bornées dans D, 

 mais le résultat ne subsiste plus si l'on ne fait, sur les fonctions p et q, 

 d'autre supposition que celle de leur continuité par rapport à chaque 



variable et de l'existence des dérivées ■§- et -f-i la condition demeure néces- 



dx dy 



saire, mais elle n'est plus toujours suffisante. 



2. Le théorème précédent trouve une application immédiate dans la 

 recherche des conditions de monogénéité des fonctions de la variable com- 

 plexe x + iy. Soient u et v deux fonctions continues du point {oc, y) dans 

 un domaine D où elles possèdent des dérivées partielles du premier ordre 

 finies : la condition nécessaire et suffisante pour que u -+- iv soit une fonction 

 holomorphe de x -+- iy dans le domaine D est que les relations 



â.u 0\- dv _ du 



dx dy àx dy 



soient vérifiées presque partout dans D. Ainsi les conditions de Cauchy- 

 Riemann, jointes à la condition de continuité, suffisent à assurer l'holomor- 

 phie de u -+- iv\ en particulier, si l'on suppose que u -+- iv à une dérivée en 

 chaque point de D, on retrouve le théorème de M. Coursai. 



Il importe de remarquer que notre proposition peut tomber en défaut, si 

 l'on abandonne l'hypothèse que les fonctions u et v soient continues ou 

 bornées dans D. 



3. Les résultats du paragraphe 1 s'étendent aux différentielles d'un 

 nombre quelconque de variables ou aux expressions de la forme 



adydz -f- bdzdx -y- cdxdy. 



Supposons, par exemple, que a, />, c soient des fonctions continues du 

 point {oc, y, s) dans un domaine D de l'espace à trois dimensions et admet- 

 tent dans ce domaine les dérivées partielles finies -r-> -r- et -r-; la condition 



1 dx dy dz 



nécessaire et suffisante pour que l'intégrale 



ff 



a dy dz -+- b dz dx + c dx dy 



