1822 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



étendue à une surface fermée quelconque contenue dans le domaine D soit 



nulle est que la relation 



ôa db de 



-j- + -j- -t- -p =o 

 o.ï uy oz 



soit l'érifiée presque partout dans le domaine D . 



Soient alors u et v des fonctions continues du point (ce, y, z, t) dans un 

 domaine D à quatre dimensions, dans lequel elles admettent des dérivées 

 partielles du premier ordre finies : la condition nécessaire et suffisante pour 

 que u + iv soit une fonction holomorphe des variables x -t- iyetz -+- it dansl) 

 est que les conditions de Cauchy soient vérifiées presque partout dans D. On 

 déduit aussi de ce qui précède qu'une fonction de plusieurs variables com- 

 plexes, continue par rapport à chacune d'elles et satisfaisant aux conditions 

 de Cauchy, est une fonction holomorphe de l'ensemble de ces variables. 



4. On peut l'attacher a l'étude des différentielles totales un problème 

 posé par M. Baire (' '). Considérons, par exemple, l'équation aux dérivées 

 partielles 



dz , dz 

 (l.r ày 



dans laquelle a et b sont des fonctions continues du point (os, y) admettant 

 des dérivées partielles du premier ordre bornées. Les raisonnements clas- 

 siques relatifs à l'intégration de cette équation supposent la continuité des 



dérivées — et '-^■■, mais ne sont plus valables si l'on ne fait que l'hypothèse 



de l'existence de ces dérivées. M. Baire a montré que toute intégrale s, 

 fonction continue du point (x,y), est nécessairement constante sur chaque 

 caractéristique ( 2 ). Ce résultat peut être étendue au cas où l'on abandonne 

 l'hypothèse de la continuité de z. Soient =, une intégrale quelconque de 

 l'équation proposée et ;/, une intégrale de l'équation adjointe, on a la 

 relation 



on déduit alors de cette relation que la fonction s est constante sur chaque 

 caractéristique. 



(') Anna IL di Maternât ica , 3 e série, 1899, p. 101. 

 ( 2 ) Loc. cit., p. 1 1 s. 



