SÉANCE DU 16 JUIN 1 91 3. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Séries hypertrigonométrigues . 

 Note de M. Michel Pbtrovitch, présentée par M. Emile Picard. 



Dans ma dernière Note {Comptes rendus, 21 avril 1918', p. I2i3) j'ai 

 signalé les analogies entre la classe étendue de fonctions entières 



<x, , «4 

 l|(*)= ' -TT •'■'-+ 77** — •■•' 



(•) 



| I 2 («.) = a, j- — 777 S + t4 as 5 — . . . , 



OÙ 



r" 



(2) o.n = -^— b 



/ 11 dt 



\u et r étant les fonctions de /, finies et continues dans l'intervalle réel et 

 fini (a, b)\ et les fonctions trigonométriques élémentaires cos ax et 

 sin ax. 



Les analogies se poursuivent jusqu'aux développements en séries pro- 

 cédant suivant ces fonctions et je m'occuperai ici des séries 



oc 00 



(3) A. + VAJ.i^ri+VB,,!^»^), 



1 1 



dont les séries trigonométriques ne sont qu'un cas particulier. 

 Soit 



(4) A„ + \ A„fnSfl.l'+ > \'< n -ll\ /l .' 



le développement, valable pour x compris entre o et 27t, d'une fonc- 

 tion /(■!■) finie et continue dans cet intervalle. 



On peut montrer que la série (3) a également un sens et représente une 

 fonction déterminée de x pour x compris dans un certain intervalle. 



A cet effet, effectuons dans l'intégrale 



Ju cos rx dt . 

 ,1 



C. K., 191.3, 1" Semestre. (T. 156, N»24.) 233 



