1824 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



le changement de variable r(t) = \ et soit 



.5, 



X 



^(ç) cos£jc £#; 



l'intégrale ainsi obtenue. Quelle que soit la branche envisagée de <];(<;), 

 on peut partager l'intervalle (£,,, £,)en intervalles («', l>') en nombre limité, 

 tels que clans chacun d'eux cette branche varie toujours dans un même 

 sens. Appliquons à chaque intégrale, étendue à un tel intervalle partiel, 

 le théorème de la moyenne sous la forme d'Ossian Bonnet. On obtient pour 

 chacune d'elles une expression où n figure au dénominateur, tandis que le 



multiplicateur de - reste fini. En groupant ces intégrales et en remarquant 



qu'on a 



1 / 11 cosrx dt = I,( x) I uc/t, 



<*> ; . " . 



! / u sinrx dt — l-,{x) / u dt, 



\ Ja J a 



on trouve qu'en valeur absolue 



Ij(a;)<i, I 2 (a:)<-, 



y et étant indépendants de n. Et alors, en vertu de ce que l'on sait sur 

 l'ordre de grandeur des A,- et B,, la série (3) est absolument et uniformément 

 convergente et représente la fonction 



c" 



j u J(rx) dt 



(6) cl, (a .) = l^— _ 



f. 



u dt 



pour o <^x < ^=- où M désigne la plus grande valeur absolue de u pour t 

 compris entre a et b. 



Lorsque la fonction f(oc) est continue et a 271 comme période, le déve- 

 loppement s'étend à toute valeur réelle de x. 



Pour /•= const. la série (3) se réduit, quelle que soit la fonction //, à la 

 série trigonométrique (4). Dans le cas de r variable et lorsque u garde un 

 signe invariable pour les valeurs de / comprises dans l'inteivalle (a, b), la 

 série (3) représente une fonction de la forme /(pua;), où f/. est une fonction 

 de a? dont les valeurs, lorsque x varie de — x à 4-qo, restent comprises 



