1826 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



où £ et Y) sont des quantités positives très petites qui tendent vers zéro, de 

 telle sorte que log- tend vers une constante C. 



M. E. Picard {Annales de l'École Normale, 191 1) a montré que, si p = 1, 

 la solution y ,(•*') de (2) tend vers une limite ç(a?) fonction homographique 

 de C. Celte fonction <p (.■*?) admet en général comme seul point critique 

 entre « et (3 le point x = o, pôle du premier ordre. Pour qu'elle soit liolo- 

 morphe pour x = o, il faut et il suffit que A satisfasse à une certaine condi- 

 tion G(À)= o indépendante de C ; la solution 05 (a?) correspondant à ces 

 valeurs de À est d'ailleurs indépendante de C. 



Nous allons donner une nouvelle démonstration de ce théorème; elle 

 mettra notamment en évidence que cp (x) = lim. <\>(x) est une véritable 

 solution de l'équation (1) quand G(X) = o et elle nous permettra d'étudier, 

 parallèlement au cas de p = 1, le cas de p entier plus grand que un. 



2. Supposons p = 1 et considérons l'équation (1). Soit <p(a?) solution 

 holomorphe quand a<.c<(3. L'intégrale du second membre a un sens 

 parfaitement défini. La recherche des fonctions f(x) holomorphes pour 

 x = o et satisfaisant à (1) est donc équivalente à la résolution du système 



1(3)' '^{o) + l K(o,s)<B{s)ds = o, 



( 3 ) } a 



] ,, v , , v J>(-r)-o(o) /* P K(a?,s) — K(o,s) , s , 

 / (3)" C9(. r ) = -L^ — : lJ^_! + X/ v — — iq>(s)efe. 



I x •'« x 



obtenu en égalant séparément les termes en - et les termes finis pour x= o. 

 Or l'équation (3)" est une équation de seconde espèce qui admet une 

 solution <f (x) holomorphe dans le domaine af:;r5(3. En portant cette 

 solution dans (3)' on obtient une condition r(A) = o et le système (3) est 

 équivalent au système 



rtt) = o, 



(4 > l T(g) = *(«)-W + i/*K(^)-K(o,Q 



i 



Si "A annule la première équation (4), il existe donc une véritable solution 

 o(x) de(i) donnée par la seconde équation (4) et cette solution sera holo- 

 morphe dans l'intervalle (a, (3). 



3. On montrerait de même que la recherche des fonctions *}(.r) holo- 



