SÉANCE DU 3o JUIN I9l3. 1960 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations intégrales à noyau 

 asymétrique. Note ( ' ) de M. A. Korn, présentée par M. Emile Picard. 



Supposons, en reprenant les notations d'une Note antérieure {Comptes rendus, 

 17 juillet 1911), l'existence de deux noyaux k(x,y) et k'(x,y) symétriques et réci- 

 proques par rapport au noyau asymétrique K (x,y) de l'équation intégrale 



(1) ? ( x )-lf o(r)K(,v.y)dr=f(x), 



•Ai 



qui satisfont à la condition 



(2) f f(x)/(x)dx>o, 



si/( ;v) est une fonction quelconque de x continue dans l'intervalle o = x = 1 , et si nous 

 posons 



(3) /(*) = /" J\y)k\*,y)dy. 

 Soit 



(4) k\(x,r)= f k'(x,z)K(z,y)d : .; /, l (x.y)=f k(z, y) K(x, s) dz; 



alors, on peut démontrer ( 2 ), si la condition 



(5) t,\(.r,y) = /,\(y, .1); * t (a^ y)~ k t (y, M) 



de la pseudosymétrie est remplie, que tous les pôles /. y (/' = 1, 2, ..., | P., | = | )., | = ... ' 

 de la solution de l'équation (1) par rapport à A sont simples et réels; si la condition 



(6) 



/ k l (.-v,z)k' l (y,z)dz=f k t (z, x)k\(z. y) 



de la pseudosymétrie généralisée est remplie, tous les pôles sont simples, mais ils 

 peuvent être complexes. 



Envisageons maintenant le cas général des pôles multiples et partons 

 au lieu de l'équation (1) de l'équation 



(7) (p(*)-X/ < ? {y)6K{x,y)dy = f{x), 



•'a 



(') Présentée dans la séance du 16 juin 191 3. 



( 8 ) Cf. A. Korn, Eine Théorie der linearen Integralgleichungen mit unsyme- 

 trischen Kernen ( The Tôhoku Matlwmalical Journal, t. I, 191 2. p. 109-186; t. II. 

 p. 1 1 j-i 36 j . 



