1966 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



où c est une constante donnée, alors il faut distinguer pour chaque A y des 

 fonctions fondamentales 



?yp,*(^); <P/M<>) (p = i,2, .... fij; k = o, 1, 2, . ... s jp ) 



satisfaisant à des équations un peu plus compliquées (') qu'au cas des pôles 

 simples. 



J'ai démontré (loc. cit., p. 1 19) le développement 



(8) /(aO=2 / 2 P 2* C * , '* <? ''P'* (aî); C >P-*=J f( as )9Ï?*i r *W da ? 



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d'une fonction /(.r) quelconque continue dans l'intervalle o<#< 1, pourvu 

 que nous ayons démontré préalablement que cette série converge absolu- 

 ment et uniformément dans l'intervalle, et le développement ( 2 ) (loc. cit., 

 p. 126) 



(9) cK(.r,7) =2'2 P 2* Typ./. (*')l x~ ?/?.■>,--'• (/) - p ?ip.^ f -*-i(y) +• ■ •)> 



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pourvu que cette série converge absolument et uniformément dans le 

 domaine 



Supposons, pour éviter d'abord les questions de convergence, que le 

 nombre des pôles X y soit fini ( = m) et posons 



(10), ch O, y) =2'3j p 2*X~ '- J?J ' ' ' r> V*->it-*W- 



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( * (#, r) =2'2 P 2' Wp.*^) l>yp,*0-)] ; 



11) / 



m 71, ,v, f 



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en désignant par [ — ] le changement de (+ /) en (— /). Alors /t(x,y) 

 représente un noyau satisfaisant à la condition de la pseudosymétrie géné- 



(') Cf. A. Korn, Ueber freie und erzwungene Schwingungen. Leipzig (éd. B.-G. 

 Teubner), 1910, p. 117. 



(*) Nous pouvons toujours choisir les fonctions <*,&,*; 9/p,* de manière que les ï ti lé— 

 giiiles Ayp {loc. cit.. p. 117) deviennent égales à 1. 



