﻿256 Anton Wincklcr. 



in + 1) (»+ Ij 



imd wächst f, unausgesetzt, währeud ~ von x in x-\-h überircht. Ist aber /" eine bei diesem Uber- 



•' (s) 1 .^ (sj 



ffant!' wachsende Function, so liängt es bekanntlich von dem Zeichen des Productcs hf, , ab, ob /" ' 



in + 11 (n) 



zugleich wächst oder abnimmt. Ist nämlich /(/ iiositiv, so wächst /" ununterbrochen, während s von 



a '' (x) ' ' («) 



(M + 1) (k) 



« in x-\-h übergeht, ist aber 7;/ negativ, so nimmt/ für denselben Verlauf von z beständig ab. 



Damit also /', den Werth von u darstellen kijnne, niuss im erstem Falle z über x-\ hinaus, näm- 



lieh näher an x-\-/i gerückt, im letztem dagegen unter x-\ — — — , nämlich näher an .« genommen, folg- 

 lich im erstem Falle z = x-\ — - , im letztem aber z = x-\ — - gesetzt werden. 



£n-\-l , H-)-l 



(n + 2) 



Man schliesst hieraus, dass wenn/ von s = x bis x-\-/i positiv bleibt: 



(n) (n + 1) 



«'=/(^+_A_) wenn kf^^^ positiv 



und 



(«) (n+l) 



u^f sh wenn //f, , negativ ist. 



in + 2) 



Eine ähnliche Betrachtung ist für den Fall anzustellen, dass/ das negative Zeichen behält, also 



das Integral in der Gleichung für u negativ, folglich 



in + l) (n) 



ist. In diesem Falle stellt / eine beständig abnehmende Function dar: ob aber /" , wachse oder 



(«+ 1) . . I«) 



abnehme, hängt wie vorhin davon ab, ob das Product hf positiv oder negativ ist. Damit also / den 



(«) 

 Werth von u darstellen könne, niuss im erstem Falle, weil/ , wächst, wenn ^ von x in x-\-h übergeht, 



Ä (re) 



a näher als •*•■+—[-; dem Werthe x liegen, im letzleru Falle aber, wofür/ bei jenem Übergang von s 

 abnimmt, nuiss z über x-\ — — - hinaus, nämlich näher an x-\-h liegen; folglich muss im erstem Falle 



z=x-\ -, im letztem dagegen z:=x-\ — - gesetzt werden. 



{n + 2)- 

 Man schliesst hieraus, dass wenn / ^ von z=x bis x4-h negativ bleibt : 



u^f e« , wenn hf positiv 



und 



in) in+l) 



u^f h wenn hf negativ ist. 



Die hier unterschiedenen vier Fälle lassen sich in die folgenden zwei zusammenziehen. Behält von 

 z=x bis z=^x-\-h 



(n + 2) (n + 1) («) 



/' mit hf gleiches Zeichen, so ist ?«=/" * 



(n-l-2) , (n + \) r, ■ , ■ .''«.' 



f, mit hf 



verschiedenes Zeichen, so ist «6=/' ^h 



