﻿Der Rest der Taylor' seilen Reihe. 



257 



wobei alle Werthe von bis und 



n-\-\ n-\-i 



— -— alle Wertlie von 



h darstellt. Wird von den 



(n) 



Zeichenverbältnissen abstrabirt, so ergibt sich hieraus, wie man sieht, die gewöhnliche Restforniel «=/ 



wieder 



th) 



jn + l) 



Es ist beinahe überflüssig , zu bemerken , dass / ' nicht in dem ganzen Inten-all von z=x bis 

 ^=.r-f Ä eine Grösse von unveränderlichem Zeichen zu sein braucht, damit das Integral in der Gleichung (1) 

 eine Grösse von bestimmtem Zeichen sei. In Folge der raschen Abnahme des Factors (1 — tf~ für nahe an 



der Einheit liegende Werthe von t ist es vielmehr leicht denkbar, dass /' für näher an x-\-h liegende 



Wertlie von s das Zeichen beliebig oft wechseln dürfe, ohne dass darum der ganze Integralwertb ein anderes 

 Zeichen als das ihm für kleinere ;; zukommende erhält. Einen sichern Scbluss in dieser Hinsicht zu ziehen, 

 gestattet jedoch die obige Betrachtung wegen der Unbestimmtheit von g nicht; eine weitere Einengung der 

 vorhin angegebenen Grenzen von z wäre übrigens für die meisten Anwendungen auch ohne Bedeutung. 

 Die Resultate, welche früher mittelst der Betrachtung unendlicher Reihen und unter Voraussetzungen 



(n) 



welche sich auf sämmtliche Differentialquotienten von f . erstrecken, erhalten wurden, sind jetzt von diesen 



Voraussetzungen befreit, au deren Stelle blos die Zeichen zweier Ausdrücke als Criterien für die Form des 

 Arguments im Restausdrucke getreten sind. 



Nicht ohne Interesse ist es, zu bemerken, dass sich die vorige Betrachtung in anderer Weise auf geo- 

 metrischem Wege ausführen lässt. Ich beschränke mich dabei auf einen einzigen der unterschiedenen Fälle, 



da für die übcriiion die Methode dieselbe bleibt. Insbesondere werde angenommen,/ behalte von < = 



bis ^=7; das positive Zeichen und werde von ^=0 an beständig kleiner; ausserdem sei/ in dem bezeich- 



ueten Intervall positiv. Dann lässt sich das Integral ; 



W 



= f ik^tf-' f'" dt 



W = / ( h~ 



Fig. 



als den Inhalt eines Raumes betrachten, 

 welcher (Fig. 1) die Fläche einer Curve in 



(n) 



der tij Ebene, deren Ordinate ?/=/, , .. 



ist, zur Basis hat, von einer cylindrisehen 

 Fläche, deren Leitlinie in der tz Ebene die 



Curve s = (Ä — 1)^~ und deren Erzeu- 

 guugslinie der y Axe parallel ist, begrenzt 

 wird. 



Dies vorausgesetzt, lege man an irgend 

 einen Punkt A der Curve in der ty, dessen 

 Abscisse « ist , eine Tangente und durch 

 dieselbe eine zur z Axe parallele Ebene, 

 welche den Annahmen zufolge im Innern 

 des vorhin beschriebenen Raumes liegend ■''-^ 



einen Theil desselben begrenzt und also kleiner als jener ist. Um den Inhalt dieses Theiles zu berechnen, 

 braucht man blos zu bemerken, dass, wenn r, die Ordinate der Tangente bezeichnet, deren Gleichung : 



in) ('« + 1) 



