﻿Der Rest der Taylor' sehen Reihe. 259 



(«I . (« + i) 



gesetzt werden. Da ferner /^^^^ mit a in diesem Falle gleichzeitig wächst, so bleibt af von a = bis 



a^=h positiv, folglich wieder von entgegengesetztem Zeichen mit / h . 



n + I 



Diese Ergebnisse stimmen genau mit den früheren überein. Wie man sieht, hatte die Betrachtung des 

 Maximums und Minimumswerthes , respective des Kleinern und Grössern, den Zweck die grösste auf die- 

 sem Wege mögliche Annäherung an den wahren Werth des Arguments zu erreichen. 



Die vorhin eingeschlagenen , von der Betrachtung unendlicher Reihen unabhängigen Wege sind jedoch 

 nicht die einzigen, welche zu den erhaltenen Resultaten führen. Auch aus der bereits im Artikel 2 benutzten 

 Gleichung : 



lassen sich jene Resultate, zumal deren Form bereits gefunden ist, mit Leichtigkeit herleiten. Man findet 



(«) («I 



nämlich, wenn in ihr einmal %=f und dann u^ =.fiy. i ^ gesetzt wird, die Gleichungen : 



Der letztere Ausdruck lässt sich mittelst der gewöhnlichen Restformel, angewendet auf die beiden ersten 

 Glieder der Taylor'schen Reihe, umgestalten. Da nämlich : 



so sind nun, wenn der Kürze wegen für 1 — t gesetzt wird, die hier zu betrachtenden Gleichungen die 

 folgenden : 



^ ' ^ n+V 



(n + l) (« + 2) }j 



r~ Hat nun hf das entgegengesetzte Zeichen von /" , für alle zwischen x und x-\ lie- 



(X) O O D y(^) ^,8-1-1 



genden Werthe von z, so sind auch F{u^ und F{u^ von entgegengesetzten Zeichen und es wird zwischen 

 "o=/,r) "ntl «i=/(r+-^, ein Werth 



n-\-V 



n+ 1' 



*i -U 1 ' 



liegen , welcher als eine allen Bedingungen entsprechende besondere Lösung der partiellen Diiferentialglei- 



chung F{v) = U zu betrachten ist. 



(") 

 Man setze nun ferner u, = f , und eben so wieder m„ für u, wofür sich 



ergibt, wenn unter und £ von einander verschiedene positive echte Brüche verstanden werden. 



L>pnk(if hntlt'ii (lei iiiathoiii.-natui w, CI. i.i.VIIl. Bd. 34. 



