﻿260 Anton Winckler. 



Hat mm A/"^" von z = x bis x-\-h dasselbe Zeicben wie / " ''von z^x bis x-\ -, so sind, 



(") 

 wie man sieht, F(t^^) und F(^u^ wieder von entgegengesetztem Zeichen nnd wird zwischen «., =/ 



nnd u, = /■ >i , ein Werth von u, folglicii zwischen x-\ und x-\-li ein Werth xA liesren, 



so dass unter der gemachten Voraussetzung 



(«) 



die entsprechende Lösung der Differentialgleichung F(u) = darstellt. 



Diese Ergebnisse stimmen mit jenen des vorigen Artikels Uberein, nur sind die Grenzen von z, inner- 



(» + 1 ) (n + 2) 



halb welcher /tf ^'"d / entgegengesetztes oder gleiches Zeichen behalten müssen, hier zum Theil 



1^) * {Zf 



andere und noch schärfer bestimmt, als die frühere Betrachtung sie ergab, ohne aber mit dieser im Wider- 

 spruche zu stehen. Wie jedoch schon im vorigen Artikel bemerkt wurde, ist fast in allen Fällen der Anwen- 

 dung diese noch engere Begrenzung der Werthe von z ohne Belang; hier wird davon der Einfachheit wegen 

 Umgang genommen. 



Der nun auf mehrere Arten bewiesene Satz lässt sich wie folgt aussprechen: 



(n + 2) 



Bleiben /'(,i) , /f^» , . ■ ./ von z = x bis x-\-k endlich und stetig, behält ferner 



(H + 2) (« + !) 



/■ innerhalb dieses Intervalls von z das entgegengesetzte Zeichen von hf, ^ , 



■' iz) O O O y(^) > 



so ist: 



hl ., hn—l (n-l) },n (n) 



J\x+h) ^fix) + hf^^^ + 2-,/^,, + . . . + (-— ly, 4, + -, /,. +,-^, 



in + 2) (n + l) 



Behält das egen /■ das gleiche Zeichen mit /«/" , so ist : 



° ° ■' (») ° • ix) ' 



/(.+;.) =/(.) + hf^^^ + 2l/(.) + ■ • ■ + (^=Tyi 4) +.7! -^^^ + 



sn-\- V 



Die Übertragung dieses Satzes auf die Maclauriu'sche Reihe versteht sich von sell)St, und es mögen die 

 entsprechenden Gleichungen blos des spätem Gebrauches wegen angeführt werden. 



(«-(• 2) 



Hat /" für alle zwischen z = a und z = x liegenden Werthe das entgegengesetzte 



■> (z) 



Zeichen von (x — a)f, , , so ist: 



^ '-^ (a) 



' (x—aY /' , , («—«)"-! Jn-t) , (a'--o)" . («) 



fix) =/(«) + (a-a)./^^^ + ^ ^ , V(„, + ■ ■ • + ^-^,r-=iyr \a> + 4t- A« ^ = . -^> 



(n + 2) 

 Hat dagegen /' für alle zwischen « und x liegenden Werthe von s gleiches Zei- 



chcn mit (x—a)t, , , so ist: 



Wie durchgehend, bezeichnet hier t einen nicht näher bekannten positiven echten Bruch. 



Bei den gewöhnlichen Poteuzreihen mit regelmässigem Zeichenwechsel, welche aus der Entwickeluug 

 einer Function erhiilten werden können, und in welchen keine Potenz der Veränderlichen fehlt, sind die Vor 

 aussetzungen der ersten dieser zwei Formeln unmittelbar erlüUt. 



