﻿Der Best der Taylor' sehen Reihe. 261 



Die vorliiii flir F{iif^) , F{u^) , F(^u^) erbalteneu Ausdrücke fiihren noch zu einer andern Bemerkung. 

 Aus ihnen ergibt sich nämlich : 



(n + 2) (n + 2) 



f Sh ■ f 5h 



F{u,) __ nk ^-+^+l' „„d F{u,)_ h ("+^ (1) 



F(u^ 2(«+l)* .(» + 11 F{ii^) 2(w+l)' ^(«+1) 



•'(3-1 •'(x + eA) 



und m;in sieht, dass der erste dieser beiden Quotienten mit wachsendem /( sich immer dann der Grenze 

 Null nähern wird, wenn 



in] 



für n=<xi verschwindet. Dann nähert sich /'(wj) viel rascher als F{\t^ der Kuli und liegt u^ = t\^ ^ ) 



(n) 

 dem richtigen Werthe u viel näher als n^^=f oder, was dasselbe ist, es nähert sich in diesem Falle r in 



[x) 



dem Ausdruck «<= /", £* , so wie in m = /", ^ , mehr der Einheit als der Null. 



Der zweite Quotient aber verschwindet, wenn 



,.(« + 2) 

 f 6h 



in-\-l)''f 



für /i=oo in Null übergeht, und es nähert sich also ebenfalls F(>i,,) rascher als F{u^) der Grenze Null, 



(n) 



woraus folgt, dass u, dem richtigen Werthe u näher als n^ —/,_ ,, Hegt. 



Man sieht hieraus, dass in allen Fällen , wenn der Quotient (2) mit wachsendem n verschwindet oder 



doch sehr klein wird, £ sowohl in der Form u= f]^' ^'' ^ als in der andern ti =/(^. _, 'L. i •''''■'' "'''''^ '^'^'•" 



"•"n+l £«+1 



Null, sondern mehr und mehr der Einheit nähert, also beide Formen in einander übergehen. 



8. 



Der Vortheil, welchen die vorstehenden Bestimmungen des Restes gegenüber den bisher bekannten, 

 sowohl bei der numerischen Berechnung von Reihen als bei Betrachtungen über die Zulässigkeit ihrer Fort- 

 setzung ins Unendliche gewähren, lässt sich nicht verkennen, und tritt namentlich in dem ersten der, Arti- 

 kel 7 unterschiedenen zwei Fälle hervor, in welchem der Factor u des Restes für ein wachsendes n von dem 

 unbestimmten Bruch £ ganz unabhängig wird und nicht, wie die gewöhnliche Formel ergibt, einen nicht 



{71) (n) (^) 



näher bekannten, zwischen / un^/, liegenden , sondern zuletzt den ganz bestimmten Werth f an- 

 nimmt. 



Wie nun die gefundenen Resultate anzuwenden seien, bedarf keiner Erklärung; doch verdienen einige 

 besondere Fälle bemerkt zu werden. 



Es sei 



f(x) = log(l + a--) und x- > U 

 also 



{i+xy 



.(«; _ _j^«-t 1 1 ■ 2 ■ 3 . ■ (w- 



