﻿262 Anton Winckler. 



Da X als positiv vorausgesetzUst, so findet die Bedingung, dass x/'""^'' und/^" + ^' von z~C) hU 



(0) (-'* 



-— — entgegengesetzte Zeichen haben, statt und ist also : 



„«—1 



log(l+a;) = x--+ -. .+(_!)«. ^ + _(zii) .:L 



2 3 «_1 ( _£^« n 



Hieraus ist ersichtlich, dass, wenn man die Entwickelung mit dem « — 1. Giiede abbricht, die untere 

 Grenze des dabei entstehenden Fehlers, nicht wie die gewöhnliche Restformel (für e=l) ergibt : 



, sondern 



1 X 



.11 



somit für ein grosses n beträchtlich grösser ist. Der letztere Ausdruck liefert daher eine genauere Eingren- 

 zung jenes Fehlers, da di^ obere Grenze, beiden Formeln gemeinsam, (£=0 entsprechend)— ist. 



n 

 Lässt man oi ohne Ende wachsen, so geht der Rest, immer ein positives x vorausgesetzt, über iu : 



(-1) e .— 

 n 



und verschwindet also, wenn x ein echter Bruch ist. 



Bricht man die Reihe schon mit dem ersten Giiede ab, so hat man : 



log(l-|-a;) = a; 



2(1 + f/ 



was von der sonst häufig benutzten Gleichung : 



log(l+.) = ._^^^_ 



ziemlich verschieden ist. 



Eine numerische Vergleichung der beiden Ausdrücke (1) ist nicht ohne Interesse. Es sei « = 12, .r=0-.3. 

 Man findet hierfür : 



die unteren Grenzen : . _ = 0-0000 00002 



(1+ccf n 



1 x" 



= 0-0000 00034 



die gememsame obere Grenze : _ = 0-0000 00044 



^n X 



n 



.«— 1 



2 



+ X---+(— 1)" r =0-2623 64300 



<5 n — 1 



log(l+a:) = 0-2623 64265 

 also der Rest der berechneten Summe = 0-0000 00035 



welcher in den letzten Stellen beträchtlich schärfer durch die Zahlen 34 und 44, als nach der gewöhnlichen 

 Formel durch die Zahlen 2 und 44 eingegrenzt ist. Mit aufiallender Genauigkeit stellt der hier entwickelte 



