﻿264 Anton Winckler. 



welcher in den letzten Stellen durch die Zahlen 235 und 282 weit genauer als nach der gewöhnlichen Formel 

 durch die Zahlen 38 und 282 eingegrenzt ist. Audi hier stellt der neue Ausdruck den Rest sehr seh<arf, bis 

 auf 3 Einheiten der letzten Decimale, dar, während der gewöhnliche mit seiner dem wahren Werthe am näch- 

 sten kommenden obern Grenze von dem Reste um 44 Einheiten abweicht. Man sieht, dass s in u^ auch hier 

 der Einheit sehr nahe liegt. 

 Für die Function 



f{x) = e«' , a; > 



erhält mau, da hier alle Differentialquotienten von gleichem Zeichen sind, die Gleichung : 



■, "! 



Wird für /(«) eine der Functionen sina;, cosa; gesetzt, somussman, um das Argument von >/ näliri- 

 angehen zu können, unterscheiden, ob n in der einen oder andern der Formen 4w, -lni-\- 1 , 4 nt-\-'2, -im-^- 3 

 enthalten ist. 



Die Ergebnisse für/(a') ^ sin x und x>0 sind die folgenden : 



(»— 1) (m) . (m + 1) (w + 2) 



Für «=4m ist /^^^ = - cos x, f^^^ = + sm x, f^^^ = + cos x, f^^^ = - sin .r 



Man erhält also die Gleichung ; 



x^ . x^ a;*"'-l . a,-*'« . ex 



sina; = a; — Tn + ^-j — ••• 71 ?t7 + 71 — \^ ^^^ 7 rr (1) 



3! 5! (4»i— 1)! (4w) ! 4to-|-1 ' 



(n— 2) {n—t) . («) ,f«-M) . (n + 2) 



Für w=4w+l ist f =— cosa;,/ ^ =sina;, /, ^^cos»,/, , = — s\ux, f = — cos.z? 



und findet man 



^im—l jj,4»rt+l 



(n-l) (m) («+1) (n + 2) 



Für w=4m+2 ist /^^^ = + cos x, f^^^ = — sin x, f^^^ = — cos x, /^^^ = + sm .,■ 



folglich hat man die Gleichung : 



x*"' + 2 . iX 



'^°^ = ^-3l + 5l---+(4m+l)!-(4^;i+2)l''"4;;rF3 ^^^ 



(n— 2) («—1) f«) '« + 1; (/j + 2i 



Für «=4m4-3 ist /' ^ =cos«,/, ^ = — sin.r, f = — cos.f, / =sin.r, f =eosj- 



und man erhält : 



x^ x'' .z'* "' + ' a;* '" "^ ^ X 



si„.r = a;-gj+^- . . +^4,„^i),-(-4^_,_3),cos^^^^_^3^^_^j (4) 



Analog würden sich vier Gleichungen für cos x ergeben. 



Um hier ebenfalls die Genauigkeit der Eingrenzung, welche diese Formeln gewähren, in einem bestimm- 

 ten Falle darzulegen und mit jener der üblichen Formeln zu vergleichen, will ich die Gleichungen (1) und 

 (4), welche hinsichtlich der Form des Restes am meisten von einander abweichen, für besondere Werthe von 

 x und m anwenden. 



In der Gleichung (1) sei .<■= 1 , tu = 2. 



