﻿D'T Rest de?- Taylor' sehen Reihe. 



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Die untere Grenze des Kestcs ist liier sowohl in (1) als in der gewöhnlichen Fonnel =0. Dagejren sind 

 in diesen beiden Formeln : 



die oberen Grenzen : 



„im 



Sin 



(4;«)! 4w + l 



/V.4TO 



= 00000 02750 



Ferner ist 





(4»0! 



„4to — 1 



sinx = 0-0000 20870 



= 0-8414 68254 



also der Rest der berechneten Summe : 



(4,w— 1) ! 



sina; = 0-8414 70985 

 = 0-0000 02731 



welchem die obere Grenze des neuen Restgliedes bis auf 19 Einheiten der letzten Decimalen nahekommt, 

 während derselbe von der obern Grenze des gewöhnlichen Restausdruckes um 18139 Einheiten abweicht. 

 Auch hier hegt also = der Einheit sehr nahe. 



In der Gleichung (4) sei a; = 1 , m = 1. Man findet hierfür : 



die gemeinschaftliche untere Grenze : 

 die oberen Grenzen : 



X 



4 ?« + 3 



(4»i+3) 



^4 m + 3 



cos- 



(4w+3) ! 47w-f4 



cos X = 0-000 1072 



= 0-000 1969 



-4m +3 



Ferner ist : 



X'' x^ 



3l "^51 



(4 »1+3) ! 



^4m+l 

 -■ + 



cosO =0-000 1984 



0-841 6667 



also der Rest der berechneten Summe 



(4m-|-l)! 



sin« = 0-841 4710 

 = 0-000 1957 



Obgleich hier in Folge des absichtlich sehr klein angenommenen Werthes von m der Rest sehr gross 

 ist, kommt demselben der neue Restausdruck doch bis auf 12 Einheiten der letzten Decimalen nahe, wäh- 

 rend der gewöhnliche in seiner obern, genauesten Grenze um 27 Einheiten davon abweicht. Übrigens zeigt 

 sich auch hier, dass £ sehr nahe an 1 hegt. 



Es werde noch : 



f(x)={i+xr 



gesetzt und x zunächst als positiv betrachtet. Da hierfür: 



/. 



(n) 



X) 



t(a— 1)(«— 2) . . . (rt— w+l)(l+a;) 



ist, so sieht mau, dass, sobald n den Werth von a überschritten hat, ein regelmässiger Zeichenwechsel zwi- 

 schen den aufeinander folgenden Diiferentialquotienten eintreten, und also der erste Fall des im Artikel 7 

 auigestellten Satzes seine Anwendung finden wird. Man erhält somit für 7j>a die Gleichung : 



(^l-l-o;) = l-|-aa;-f 



a{a — 1) 

 ~T~2~ 



c'+ . . + 



+ 



X 



a(a— l)(a— 2). . .(a— ?i+2) ^„_i 

 1.2.3 ... (w— 1) 



a(a— l)(a— 2). . .(a-w-fl) 



1.2.3 



(1+,7+t) 



ex »i— a 



