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DER REST DER TAYLOR'SCHEN REIHi:. 



VON 



D« ANTON WINCKLER, 



WIRKLICHEM MITOI.IEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSrHAmcN. 



(VOROELKOT IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCHNATIRWISSENSCHAPTLICHEN CLASSE AM ■.';. JIM 18B7.) 



JJie verschiedenen Ausdrücke, welche den sogenannten Rest der Taylor'schen Reihe bilden, und zu welchen 

 hier die zuerst von d'Alembert (1754) aufgestellte Integralform nicht gerechnet wird, hängen insgesamnit 

 von einem nicht näher bestimmten positiven echten Bruch ab, welcher theils als Factor des Restausdruckes, 

 theils als Coefticient des Zuwachses der Variabein auftritt. Setzt man nämlich : 



f{x-\-h)=f{x) + hP{x)-^ • • • + 



1.2. .( 



Jin-l ,(«— 1) 



so kann bekanntlich flir ti einer der Ausdrücke: 



•'{x + ehj ' 



n - 1 (n) 



(x + zh) 



n{l—i) /^^+,.. • • • Lagrange, 



/," 



1.2 8 . . w 



Cauchy 



71 . .1 



-(l-£) 



P 



-P (n) 

 ■^ ix + sh) 



(1 



n—l r ,(«— 1) (n- 



Roche 



'(x + sh) "^(;Ci 



Sturm 



gesetzt werden, worin s jedesmal einen andern positiven echten Bruch und j> eine der Zalilen von 1 bis n 

 bezeichnet. In vielen Fällen und namentlich, wenn es sich nur darum bandelt, das Verschwinden des Restes 

 für ein ohne Ende wachsendes ti nachzuweisen, sind diese Ausdrücke zureichend, obgleich jeder von ihnen 

 den Werth des Restes innerhalb gewisser, unter Umständen ziemlich weiter Grenzen unbestimmt lässt. Sie 

 sind aber nicht in gleichem Masse dienlich, wenn der Rest als Fehler der bis zu einem gewissen Gliede fort- 

 gesetzten directen Summirung der Reihe betrachtet und mit einiger Genauigkeit bestimmt werden soll. Es ist 

 daher schon dieses Umstandes wegen die Frage, ob sich die Grenzen x und j:-{-/i des Arguments x+sh, 

 wenigstens unter bestimmten Voraussetzungen , etwa enger stellen lassen, und in welcher Form alsdann der 

 Restausdruck erscheinen würde, von einigem Interesse. 



Mit dieser Frage des so vielfach behandelten Themas wird das Folgende zunächst sich beschätligeu, 

 woran dann einige andere die Restformel betreffende Bemerkungen sich anschiiessen werden. 



DPiikdchnfti^n d«r mathem.-naturw. Cl. XXVIII. Bd. 



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