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Die Resultate sind meines Wissens neu; insofern aber bereits bekannte in Rede kommen, werde ich sie 

 ausdrücklich als solche bezeichnen. 



Die vorhin angegebenen Ausdrücke stellen gewissermassen die erste Näherung des Restes dar, welche 

 iür jede die Bedingungen der Continuität erfüllende Function giltig bleibt, und die Methode, durch welche 

 sie erhalten werden, haben mindestens das mit einander gemein, dass sie, ohne Unterscheidungen bezüglich 

 der Function oder deren Ditfcrcntialquotientcn zu erfordern, Resultate liefern, welche äusserlich zwar ver- 

 schieden, doch als blosse erste Annäherung nahezu von gleicher Bedeutung sind. In besonderen Fällen mag 

 das eine bequemer zu gebrauchen sein als das andere, aber jedes leidet an einer für die meisten Anwendun- 

 gen zu beträchtlichen Unbestimmtheit. 



Um schärfere Eingrenzungen des Restes zu finden, muss man hiernach die bisherigen Wege verlassen, 

 und auf die Beschafifcniieit des Ausdruckes , welchen er genähert darstellen soll, genauer eingehen. Die am 

 nächsten liegenden Anhaltspunkte hiefür gewährt die in Reihenform unmittelbar gegebene Bedeutung von u, 

 vermöge welcher nämlich : 



ist, und aus welcher unter vorerst festzuhaltenden Hypothesen sich mehrere Ausdrücke ableiten lassen, die 

 u innerhalb viel engerer Grenzen als die oben bemerkten Formen richtig darstellen. 



(n) {n+1) ~. , ■ . 



Zu diesen Hypothesen gehört hauptsächlich diejenige, dass/ , f, ■. ... für alle zwischen x 



und x-\-k liegenden Werthe von 2 endlich bleiben, die Reihe also fiir die Werthe 1, 2, 3 . . . von n con- 

 vergire. Da nur die Reihe an sich in Frage steht, so ist sie durch die vorausgesetzte Convevgenz legitimirt. 



Zunächst soll frener angenommen werden, die Glieder nehmen dem Zahlenwerthe nach schon vom ersten 

 an beständig ab. 



Es wird Sache einer weitern Erörterung sein , die Ergebnisse von diesen beschränkenden Annahmen zu 

 befreien. 



2. 



Von den bezeichneten Annahmen ausgehend, kann man zu der gewöhnlichen Form des Restes sehr 

 leicht gelangen, wenn man die beiden Fälle unterscheidet, ob die Glieder der Reihe u, beziehungsweise 



f , kf , h^ f ■ ■ gleiche Zeichen haben , oder ob zwischen ihnen ein regelmässiger Zeichen- 



• (.r)' •' ix) •' \x) ° ^ ^ 



Wechsel bestehe. 



Haben alle Glieder dasselbe Zeichen, so liegt u offenbar zwischen 



und 



(n) ,(n + l) ;,« («4 2) 



"'=4) + ^A-) +lT2-^(-) + • • • 



(") (™) («) 



oder also zwischen /' , und /' ,^ und kann folglich unter der Form f , gedacht werden. 



•' (x) •' (.c + A) '^ •' (a; -f £ A) " 



Haben dagegen die Glieder in m einen einfachen Zeichen Wechsel, so nehmen die Glieder der Reihe 



(n + 2) 





+ 



