﻿Der Rest der Taylor sehen Reihe. 245 



ebenfalls von Anfang an ab und es ist daher 



M, — M ^ , 



(n) 



wobei, wie im Folgenden durchgehend , das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem/ positiv oder 



negativ ist. 



Da ferner: 



''~''"~^+l-^(«^) +(m-|-1)(«+2)Ax; +• • • 



so folgt aus gleichem Grunde : 



u — u^ ^ 0. 

 Hieraus ergibt sich 



in) 



und kann also auch in diesem Falle u in der Form / dargestellt werden. 



Durch eine analoge Betrachtung gelangt man zu diesem Resultate auch in dem Fall, wenn, ein 'Zeiehen- 

 wechsel erst zwischen Gruppen gleicher Zeichen stattfindet. 



Übrigens lässt sich der in Rede stehende Ausdruck von u unabhängig von den bisherigen Voraussetzun- 

 gen auf einem Wege erlangen, welchen ich in einem, 1859 (Annaii di Matematica, von Tortolini, Nr. .3) er- 

 schienenen Aufsatze befolgt habe, und wobei von der für u bestehenden Gleichung 



Gebrauch gemacht wird, die sich unmittelbar aus 



du du 

 dh dx 



tn— 1 



= 



(«-1) . //' 



fi?^ + ^) =/H + V(.) + • • + r^ — -—^^ f,r. + 



(*) -r • • • "T" 1 .2.. .(w— l)-'(.r) ^1.2 

 ergibt. 



Man setze für u nach einander die Ausdrücke : 





so wird sich ergeben : 



^, V Ä in+l) „, , ,('!) An) 



(n) (» + I) 



Nimmt/" von z = x bis xA-h stetig entweder zu oder ab, so habeu bekanntlich // /' und 



' « I in) 



f ^ —f das gleiche, folglich F{u^ und F(m,) das entgegengesetzte Zeichen, und muss, weil zumal 



(«) 

 w„ und 11^ besondere Werthe einer und derselben Function / sind , nothwendig zwischen «„ und «, ein 



(n) 



Werth u von der Form / liegen, wofür F{u) = wird, wie es die Bedingungsgleichung fordert. 



(n) 



Geht aber f während « von x bis x-\rh sich ändert, ein oder mehrere Male vom Wachsen in das 



Abnehmen oder umgekehrt über, und ist v die Anzahl dieser Übergänge, so gibt es nicht nur einen, sondern 



v+l Werthe von e, wofür u =/*^"' der Gleichung F{u) = genügt, wie nicht näher gezeigt zu wer- 



(x + ih) 

 den braucht. 



In allen Fällen kann also, wenn nur / " , folglich auch alle niedrigeren Diflerentialquotienten, ein- 



schliesslich /(s), von z = x bis x-\-h endlich und stetig bleiben ; 



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