﻿24G Anton Winckler. 



In) 

 U=f ,^ ', 0<£<1 



gesetzt werden, einerlei, ob h positiv oder negativ ist. 



3. 



Zur Ermittelung der genaueren Formen des Restes, wovon oben die Rede war, ergeben sich aus den fol- 

 genden Bemerkungen wenigstens einige Anhaltspunkte. 



(n) 



Da es sich hiebei um die nähere Kenntniss von t in der Gleichung u =f ^ handelt , so kann man 



damit beginnen, für t eine Reihenform zu suchen. Hierin aber liegt eine Aufgabe der Umformung unend- 

 licher Reihen von allgemeinerer Bedeutung, welche eine nähere Besprechung zu verdienen scheint. 



Etwas allgemeiner gefasst, lässt sich die Aufgabe wie folgt .stellen. Z, >?, , Z^ . . . sind gegebene 

 Functionen von x, frei von der Veränderlichen h, nach deren Potenzen die umzuformende Reihe : 



Z+kZ^ + h'Z^-j- . . . 



geordnet ist; F(y) ist eine gegebene Function, deren Argument y in Form einer unendlichen Reihe 



worin z, z^, z^ . . . unbekannte Functionen von x allein bezeichnen, so bestimmt werden soll, dass die 

 gegebene Reihe 



Z+/<Z, + />'/,+ . +h"Z.,+ . . .=F{z+hz, + h'z^+ . .+J,-z„+...) (1) 



werde. 



Gleichungen zur Bestimmung der z lassen sich auf mehreren Wegen erhalten, wovon der nächstliegende 

 etwa der folgende ist. 



Da für Ä = Ü sieh 



Z=F(z) 



ergibt, so darf z als bekannt vorausgesetzt werden. 



Man kann nun die Gleichung (1) nach h wiederholt differentiiren und dann h = setzen, wodurch sich 

 Gleichungen von der Form : 



~d"F(>/) 



! /^. = 



dh 







ergeben, aus welchen sich ^^, z^ ■ ■ nach einander berechnen lassen. 



Übrigens wird man bequemer zu jenen Gleichungen dadurch gelangen, dass man 



? = Äe, + /.^~, + F^3-f ... 



setzt, die Gleichung (1) in der Form 



Z-\-kZ^ + k'Z^+ . +h''Z„+ . . .= (2) 



C^ „ 11" in) 



betrachtet und nun die Coefficienten von h, h*, h^ . . . der beiden Entwickelungen einander gleichsetzt, 

 was offenbar damit übereinkommt, dass man diese Gleichung, allgemein n mal nach h differentiirt und dann 

 wieder ä = setzt. Die Difi'erentiation wird durch diese letztere Bemerkung auf jene der Potenzen von ^ 

 zurückgebracht, indem man erhält : 



