﻿Der Rest der Taylor' sehen Reilie. 



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Allerdings lassen sich auch in dieser Darstellung nur die Anfangs- und Endglieder ohne weitläufige Un- 

 terscheidungen allgemein angeben. Man erhält nämlich : 

 Wenn n = 2w gerade ist : 



Z^ = 



g f A. l- A. g z _L 



■2m uy - m ^ 1 im- 1 ^ 



- 



und wenn M=2»i-fl ungerade ist: 



m — 1 VI r 1 



F + 



(2) 



+ ^ 





'2 • (2,^,— 2)! "'""'i 



(2 m)! 



2', 



2m + 1 



2 F + 



2m-(-l (j)~ 



1 2 m 2 2»«— 1 ' ' 



4 



^(..+ -+s 



2 m - 1 





(2/W — 1)! 



+^ 



2)« -Hl 



(2»,-|-l)! 



Die in Frage stehenden Bedingungsgleichungen können jedoch aus (2) in einer wesentlich andern 

 Form entwickelt werden, wenn man sich der bekannten Art, den polynomischen Lehrsatz auszudrücken, bei 

 Bestimmung der Coefficienten von h" bedient. Auf der linken Seite jener Gleichung ist dieser Coefßcient 

 = Z„ ; auf der rechten Seite werden alle genannten Coefficienten aus 





oder 



Äs, + /.^~-f 



p(0 



erhalten, wenn unter i die Zahlen 1, 2, 3 . . . w verstanden werden. 



Nun wird nach dem polynomischen Lehrsatze die Gesammtheit aller h" als Factor enthaltender Glieder 

 der Entwickelung von \k^^-\-h'^^^-\- • • ■ ]' aus dem Ausdruck 



7 ! ;'. /» i. 



i \f \ { I 1 2 



gefunden, wenn i\, t^ 

 Bedingungen : 



i„ positive ganze Zahlen, die Null mit einbegriffen, vorstellen, welche den beiden 



«1 + h + '3 +•• + '■» = » 



entsprechen, und wenn für i\\, i\\ ... die Einheit gesetzt wird, im Falle t\, 

 Unter diesen Voraussetzungen erhält man also : 



Null ist. 



Z = S 



,■ I / t 



'-^F, 



(i) 



! ('} 



i„ den ange- 



und können hieraus alle in Rede stehenden Gleichungen für Z, , Z^ . . . abgeleitet werden, wenn man nach 

 einander die Werthe «== 1 , 2, 3 ... zu Grunde legt und alle zulässigen Werthe von i\, i^ . 

 gebenen Bedingungen entsprechend aufsucht. 



Befolgt man das eine oder das andere Verfahren , so werden sich folgende Resultate ergeben : 



Z. = ^. ^(.) 



Z, — Sg F 4- ^\ F 



{') 



2 ! (^) 



(3) 



_3 ,„ 



Z = ^ F A- ^ ^ F -4- ~F 



^3 -3^(,)+ -2-.^(,)i- 3;^(,^ 



