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ist, oder also /" "^ ^ und /^" " gleiche oder entgegengesetzte Zeichen Iinhon , über oder unter — — - 



liegen werde. 



Allerdings ist dies blos eine Bemerkung, welche sich auf Voraussetzungen rücksichtlicii h und /i und die 

 nicht vollständig vorliegende Entwickelung z^h^ -^ z.^h^ -\- . . .stützt, und welche einer näheren I^nter- 

 suchung bedarf. Hierzu nun bieten sich niehicre Wege an, die gegenüber der vorigen Betrachtung den Vor- 

 theil liaben, dass sie die zu Grunde liegenden Annahmen vollständig überblicken lassen. 



Zunächst werde wieder die ursprünglich gegebene Keihe : 



" =■^..) + ,7+1 A^-) + 



(M + 2 



-f + 



V Cr') ~ 



iJ^l'^ (x) • (n+l){n + 2y (•«') 

 zu Grunde. gelegt und angenommen, es bestehe zwischen den endlich bleibenden Grössen 



f 



(n+1) (« + 2) 



<"'. 



(x) ' " -^ (x) 



ein regelmässiger Zeichen Wechsel und es werden die Glieder von u schon von Anfang an und in 

 dem Masse kleiner, dass die Keihe auch ohne Zeichenwechsel eonvergirt. 



Man bringe mit dieser Reihe die Entwickelung von / 



{n) 



^ ' n + 1 



h in Verbindung und setze : 





2!(«+l)«-' W 





»+i 



so wird vermöge der Voraussetzungen auch diese Reihe einen regelmässigen Zeichenwechsel besitzen . v<ni 

 Anfang an abnehmen und convergiren. 

 Nun besteht in den beiden Reihen : 



_ Ji > + l) P (n + 2) 



" ~~ "» ~ ^i+1 ^ (*) "•" («+l)(w + 2)-^ (.^) "^ 



W 



(w+l)(w+2)(w + 3)'' W 





;,+2 



1_ 



A« 



(«+!)«•' (-v 



n + 2) 



(« + !)' 



,,_|_l)3/(a;) + • 



[(«+2)(«+3) 3!J 



offenbar ein regelmässiger Zeichenwechsel und sind beide von den ersten Gliedern an abnehmend. Die bei- 

 den ersten Glieder haben aber entgegengesetzte Zeichen, folghch ist : 



und 



u — u^ ^ oder «„ ^ %i 



Wj, ^ oder u -^ u^ 



(«) 



wo das obere oder das untere Zeichen gilt, je nachdem f positiv oder negativ ist. Hieraus folgt nun : 



(n) Ui\ 



lind es liegt also u zwischen ict,^f, und u„^=f , 



*' " ' (■<M ^ •'(x+J!—) 



n+1 



Unter den gemachten Voraussetzungen kann also der Factor 



(a:+__) 

 n + 1 



gesetzt werden 



Unter denselben Voraussetzungen, jedoch mit Beseitigung des Zeichenwcchscls, verbinde man 

 die Reihe : 



Denkschriften der mathera.-naiurw. Cl. XXVIIl. Bd. 



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