﻿+ ... 



252 Anton Wincl^iler. 



mit jener flir u und vergleiche die Reihe : 



*'~"'~[« + l J •^(«) '^[{n-\-\) {n+2) 2\\'-'(^) '^Y{n.-\-l){n + 2){n-\-?,) 3 ij ' A«) 



mit der obigen flir u — n^, so sieht man, dass : 



u — M, ^ oder u ^ u^ 

 and 



u — Mj ^ oder u ^ ?^j 



(»i) (« + i) . . . 1 



wo das obere oder das untere Zeichen gilt, je nachdem / , hf , • • • positiv oder negativ sind. Man 



hat also : 



und es liefft u zwischen u^=^f . und v.-^f ' , so dass, wenn sämmtliche Glieder von u das- 



n I- 1 



selbe Zeichen haben : 



(.r + ^) 



sn + 1 



gesetzt werden kann. 



Obgleich die folgende Begründung der beiden vorhin erhaltenen Resultate sich ebenftdls auf gewisse 

 Convergenzbedingungen stützt, so verdient sie doch als auf einer bemerkenswerthen Transformation der Reihe 

 ?< beruhend, hier angeführt zu werden. Diese Transformation ergibt sich als specieller Fall einer Gleichung, 

 welche ich in dem Aufsatze „Über die Umformung unendlicher Reihen" im 51. Bande der Sitzungsberichte 

 hergeleitet habe, und welche heisst : 



f(x I x) I ''~'^xf' («— 7)(a-7-l) •^Y(.r,+^-) 



/(.«'o+-^;+ ^3?/^^^ + ^)+ y(y + l) 1.2 +••• 



(n) 

 Setzt man darin x für .t;'^,, ä für x,f. für/ , ferner « = 1, 'y = « + l, so verwandelt sich die 



erste Seihe in jene für u und man erhält , wie leicht zu sehen : 



_ (n) nh ("+!) 7lJ>^ (n + 2) nP (" + 3) 



^' ~J(x^h) ~ ;rpi-^ (^ + A) + 2!(«+2)'^(a.- + /0 3 ! (w-f 3)•^(■^• + A) + ■ • • w 



übrigens kann man hierzu gelangen, ohne jene allgemeine Gleichung als bekannt vorauszusetzen. 

 Die Brüche, welche in der ursprünglichen Reihe für u vorkommen, und deren Nenner (?i-|- 1) (« -|- 2) , 

 (w-f-1) ('* + 2) (w + 3) . . . sind, lassen sich nämlich insgesammt auf folgende Art in ihre einfachen Partial- 

 brtiche zerlegen. Die Partialbrüche, deren Nenner n-\-r ist, entspringen zum ersten Male aus dem Gliede 



von u, welches mit /* f, multiplicirt ist, und kommen dann in jedem folgenden Gliede wieder vor. All- 



gemein ist nun der jenen Nenner enthaltende Partialbruch, welcher aus dem Gliede 



>^'' + ^ (M + r+v) 



(w+l)(w+2) . . (n-l-r+v)-' W 



