﻿Der Tieiit der Taylor scfien Reihe. i253 



hervorgeht, nach bekannten Regeln berechuul, der folgende : 



(r— l)!v! lit^-^i-^) 



Aus ihm ergeben sich alle genannten Partialbrliche, wenn mau v = 0, 1, 2, 3 . . . setzt, ihre Summe 

 ist also : 



(_!)'— 1 /j'- r („ + r) (« + r+l) ^2 („ + r + 2) 1 



(,._!)!(;, + ,.) [■^(;.) + *-/(x) +2T'^W + • • • J 



Daraus wird nun u erhalten, wenn man /•= 1, 2, 3 . . . setzt und alle Ausdrücke addirt. 

 Es ergibt sich hiernach die folgende Gleichung : 



_ >) h .('' + 1) h^ .("+2) A'' (n + 3) 



"—•/(»;) + n+l^{^ + h) 1 ! (,;_]_ 2) ■^(* + A) + 2 ! (m+3)-^(^+A) ' " " ^~' 



Sie stellt ebenfalls eine Transformation von u dar, stimmt aber mit jener in (1) nicht überein; offenbar 

 convergirt sie im Anfang rascher als die letztere. Übrigens braucht man nur die Gleichung : 



hinzuzufügen, um sogleich (1) zu erhalten. 



Setzt man nun wieder die Entwickelung (1) als convergent und schon vom ersten Gliede an als abneh- 

 mend voraus, nimmt man ferner an, es haben die Grössen : 



(») {n+lj ' (» + 2) 



regelmässig abwechselnde Zeichen und setzt man analog wie früher : 



so folgt, wenn man die Gleichungen (2) und (3), sodann (1) und (4j von einander abzieht : 

 '*^"o =^if(x+h) ■~~' 17(7+2) A«+A) + 2!(m+3)'^i> + ä) 



t—u^ — + Y^^ - (^^qijyzj YV (.'•+/*) ~~ [;7+3 ~ («+1)-'J 3 V (^+ 



-3, 



I T^ • • • 



Die Ausdrücke in den Klammern der letztern Reihe sind positiv; vermöge des vorausgesetzten Zeicheu- 

 wechsels der überigen Factoren haben also die Glieder jeder Reihe unter sich gleiche Zeichen, aber diese 

 Zeichen sind in der einen Reihe die entgegengesetzten von jenen der andern, somit hat man 



u — u^ ^ oder u ^ «„ 

 und 



u — «2 ^ *-* oder u ^ ii^ 

 folglich ist : 



woraus sich dieselben Schlüsse wie im vorigen Artikel ergeben. 



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