﻿251 Anio)/ Winckler. 



Unter denselben Voraussetzungen , jedoch unler der Annahme, dass kein Zeichenwechsel stattfinde , 

 erhält man, wenn wieder : 



gesetzt wird , die Gleichungen : 



Die Ausdrücke in den eckigen Klammern sind nicht nur positiv, sondern auch abuelunende Grössen, 

 beide Reihen nehmen von den ersten Gliedern an ab und haben einen regelmässigen Zeichenwechsel; die 

 Zeichen dieser ersten Glieder aber sind entgegengesetzt, folglich bat man wie im vorigen Artikel : 



u — a^ «§ lind 11 — u^ ^ 



woraus sich wie dort dieselben Schlüsse wieder ergeben. 



6. 

 Nach den Betrachtungen der Artikel 4 und 5 hängt die Giltigkeit der Ijcideu Formen 



u = /, eA und „ = /' « 



» + 1 ^ e » + 1 



(■<• + 



blos noch davon ab, dass die Glieder der Reihe « von Anfang an abnehmen und die Reihe selbst convergent 

 sei. Was nun aber besonders bemerkt zu werden verdient und zu einer weiteren Erörterung Anlass gibt , ist 

 der eigenthümliche Umstand, dass die Voraussetzungen rücksichtlich des Zcichcnwechsels und der Zeichen- 

 folgen im Artikel 4 auf die Ausdrücke : 



•fr'- 



und im Artikel 5 auf die Ausdrücke : 



,(«) , ,(•)/ + 1) .(H+2) 



•'(.r + A) ' ■'{x + h) ' '■'(x + k)' ■■■ 



sich beziehen und also diese beiden Reihen in genannter Rücksicht einander substituirt werden können. Die 

 Vermuthung tritt hierdurch nahe, dass es überhaupt auf die Zeichen aller dieser Ausdrücke nicht ankommen 

 werde und in weiterer Folge auch die Convergenzbedingung beseitigt werden könne. 



Wie es sich damit verhalte, kann auf dem folgenden, von der Benützung unendlicher Reihen unabhän- 

 gigen Wege genauer erörtert werden. 



Der d'Alembert'sche Ausdruck für den Rest der Taylor'schen Reihe führt zu der Gleichung : 



dt 



h» r n—\ in) 



oder, wenn zur Abkürzung 





gesetzt wird : — m=/ (/? — () 'f{t)dt 



