﻿Ber Rest der Taylor sehen Bcihv. 255 



Bezeichnet mm n eine zwischen U und h liegende Grösse, deren nähere Bestinnniing- vorbehalten bleibt, 

 so besteht nach der ijewöhnlichen Restformel die Gleichung : 



und kann also 



^„ = / a—t)'~'^)i(>ia\-\-[h—a)o —ih—t')o' J^l(t—„yo'' 'dt 



' ' 



gesetzt werden. Die Integration der drei ersten Glieder lässt sich ausführen und man erhält : 



17.« /;""'■ ^1 ' r'' 1 



^^h-a) l^' ^x ^h^tf-it—aYf'' , ,.dt 





Dieser Ausdruck wird beträchtlich einfacher und, wie man sehen wird, zur nähern Bestimmung von u 

 geeigneter, wenn man den Werth von a so bestimmt, dass der Coeföcient von »'(«) verschwindet, weun 

 man also : 



— (/;—«) '--r = folglich a = — — 



.setzt ; denn die Gleichung verwandelt sich dann in die folgende : 



welche, wenn // / für ;■ gesetzt und a wieder eliniinirt wird, in die Form : 



M+l L «^1 J 



gebracht werden kann. 



Rücksichtlich des Ausdruckes unter dem Integralzeichen bemerke man nun, dass das Product der bei- 

 den ersten Factoren innerhalb der Grenzen allerdings zweimal und zwar für t^=—~r und für f = l ver- 



n -f- 1 



schwindet, aber sein Zeichen nicht ändert, sondern stets positiv bleibt, und dass, was den dritteu Factor 

 betrifft, der von t abhängige Theil des Arguments, nämlich 



möglicherweise alle Werthe von bis h annehmen kann, während t von bis 1 wächst, weil s innerhalb des 

 lutervalles von bis 1 völlig unbekannt ist, und für ;=!, < = dieser Bruch =0, für £ = 1, < = 1 da- 

 gegen ^k wird. 



Um also auf das Zeichen des Integralwerthes einen sichern Schluss ziehen zu können, muss uuter- 



schieden werden, ob / in dem Intervall von s = .« bis s = x-{-h positiv oder negativ bleibt. 



Wird nun zunächst angenommen,/ bleibe beständig positiv, so ist auch das Integral positiv. 



folglich : 



(n) 



