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Anders gestaltet sich der Rest für 



f{x) = {i—xy , o<x<i 



Hier ist: 



4?^^-^^"'^^"-^) • • («-« + 1)(1-«^)' 



und man sieht, dass, sobald n grösser als a geworden, alle folgenden DifiFerentialquotientoi das gleiche 

 Zeichen annehmen und der zweite Fall des erwähnten Satzes eintritt. Man erhält somit für « > a die 

 Gleichung : 



a{a—l) g , IX«— 1 a{n — l)(a— 2). . .(a— w + 2) n— 1 



(\-xf = \-ax^ 1.2 ■ • ■ +'^" ^ ■ 1 2.3 



(«— Ij 



X 



+^"^^ 1.2.3 ::: ü 



(1- ^V'"" 



in-\-\ 



Es versteht sich von selbst, dass für w < a in der ersten dieser zwei Gleichungen der Nenner im Rest- 



-Tj n — d s 00 ^ — ^ 



gliede durch (1-1 ) , in der zweiten dagegen durch (1^ —,) zu ersetzen ist. 



£«-|-l w+l 



Wie aus diesen Gleichungen die bekannten Bedingungen für die Giltigkeit des binomischen Satzes sich 

 ergeben, behalte ich mir bei einer andern Gelegenheit zu zeigen vor. 



10. 



Durch den Satz des Artikels 7 wird nun allerdings der Rest in zwei ihrer Art nach sehr allgemeinen 

 Fällen schärfer als durch die übhchen Formeln bestimmt. Aber die Genauigkeit seiner Eiugrenzung ist bei 



(n) (n) 



der ersten Form u = f,. , ^^ n ungleich grösser als bei der zweiten u =f _h__ , welche für grosse 



^ n + l ^ ' zn+V 



Werthe von n der Unbestimmtheit des Arguments einen ziemlich weiten Spielraum offen lässt. Die Criterien 

 der Fälle, welchen diese beiden Formen entsprechen, sind nun offenbar die einfachsten, die es im Allge- 

 meinen geben kann, aber dies schHesst die Möglichkeit, in mehr oder weniger speciellen Fällen, namentlich 

 bei der zweiten Form, eine schärfere Bestimmung von s zu treffen, keineswegs aus. Es versteht sich von 

 selbst, dass die Anwendbarkelt der im Artikel 2 angeführten Bedingungsgleichung für u auf die Substitution 

 der drei Werthe w^,, u^, u^, von welchen bis jetzt allein die Rede war, nicht beschränkt bleibt und anch 

 noch für andere Werthe von ^^, welche einander noch näher als die drei genannten liegen, in F(i() ein Zei- 

 chenwechsel eintreten kann. Offenbar kann : 



(n) 



np-i 1 



als der gemeinschaftliche Ausdruck der drei bisher gebrauchten Substitutionen u^, m, , it^, beziehungsweise 

 für i = oo, und 1 angesehen werden und muss zwischen p^O und p = oo nothwendig immer wenigstens 

 ein Werth liegen, wofür: 



verschwindet , also u.^ den richtigen Werth von u darstellt. Um daher in gegebenen Fällen einen Zeichen- 

 weehscl in F[u.^) hervorzurufen, steht für p ein ausgedehntes Gebiet von Werthen zu Gebote, welches indes- 

 sen mit Rücksicht aut die im Artikel 7 unterschiedenen Hauptfälle zum Voraus schon in die Intervalle von 

 p=zO bis 1 und von p == ] bis oo zu theilen ist. 



