﻿Der Best der Taylor sehen Beilie. 267 



tfi -f- 1) (w + 2) 



Das erstere Intervall entspricht den Fällen , in welchen k . f, , und f, , von e=x bis x + h 



gleiche Zeichen haben und wird also, wenn überhaupt eine genauere Eingrenzung nöthig ist, Gegen- 

 stand einer weitern Betrachtung sein, die übrigens allgemein geführt, umständlichere Unterscheidungen erfor- 

 dert, in besonderen Fällen, wie z. B. für /(a;) = e^, a;>0 aber sehr leicht ist. Ich glaube dieselbe, so wie 

 auch ein anderes der Regula falsi analoges, auf die vorstehende Aufgabe allgemein anwendbares Verfahren 

 hier des Weiteren nicht berühren zu sollen. 



Von den mannigfachen Betrachtungen , welche sich an die Frage des Restes der Taylor'schen Reihe 

 kuüi)fcn lassen, möge nur noch die folgende erwähnt werden. 



Angenommen, es haben alle Glieder der Ent^vickelung : 



J(:,n+ n-\-l^(x) +(,i_|_l)(,j^_2)A*) '^ ' ' ' ^ {n-\-l)(n-\-'2)..{n-\-ry{x) '^ ' ' \ 



das gleiche, und, wie ohne der Allgemeinheit zu schaden, vorausgesetzt werden kann, das positive Zei- 

 chen. Vom r. Gliede dieser Reihe an sei ferner jedes folgende Glied kleiner als ein Bruchtheil des unmittel- 

 bar \orhergehenden, also allgemein : 



j.{n+s) 



:<« , s ^r , « < 1. 



Dann hat man : 



7i-{-s An + s-i) 



{n + rj k^+^ {n + r^l) 



(n-\-l) {n+2) . .(.«+,yW ' (n+l){n+2). .{?i+r-{-l)''{x) 



< (.,+1) (.,+2). ■(..+>•) 4r'^ • [1+«+«*+-..] 



und hieraus folgt, wenn die geometrische Reihe summirt wird: 



.(») _k__ (« + i) h^ («+2) A'— ^ (« + '•- 1) 



" <J(x) '^ n+l-^i.^) "•■ (n + l){n + 2Y<.^) + • • + (^n+l)(n+2). .(n-\-r—l)'^{x) 



+ 1 — a ■ (n+l){7i + 2). .(n-\-r) -^{x) (^) 



Unter den gemachten Annahmen ist aber auch: 



r* h ^ («) h ("+!) h^ An+.2) }>r-l (« + .-1) 



J(-+j) >J{^) + p J(-) +1.2. p^h-y + • • ■ + i.2.3..(^-i)p'-^ -^(-i 



"•■1.2.3. .r.^r • ■'(.^) (2) 



und diese beiden Ungleichheiten können nun für einen bestimmten Werth von p mit einander in Relation 

 gesetzt werden. Die Anfangsglieder beider Reihen stimmen mit einander überein; man bestimme nun p in der 

 Art, dass auch die letzten Glieder einander gleich werden, man setze also : 



, = [(!_«) (^^+l)(^+2)..(>^+r) l7 



dann lässt sich nachweisen, dass die Divisoren der früheren Glieder in der Entwicklung (1) insgesammt 

 «rösser als die entsprechenden Divisoren in der Entwicklung (2) sind. Um dies zu zeigen, genügt die Bemer- 

 kung, dass der Ausdruck: 



A = 



\n^l){n+2)..{n^q) \\ _ [(y-f 1) (y-f 2) . . (y+^e)1:^ 



1 . 2 . . . 5 J [ 1 



Denkschriften der mathem.-uaiurw. Cl. XiVIU. Bd. 



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