﻿270 Ai/fo)? Wi)irllr,r. 



.(n + s) 



Da hierfür — ; — ■— — = — ; — <1 bleibt, sobald w+ 1 > ä , sokannr=l, foldich a = als 



w-fÄ ^(« + «—1) n-\-s ' ' '1- ^_|_2 



Ux) 



grösster Wertli jeues Quotienten gesetzt werden. Man erhält also : 

 und es ist : 



e 



= l + ^+2T+-- +01111)! + ^«"+^-" 



oder wenn man ./• für // schreibt : 



X , . , -r" , , a-'*-l . «" 



Um die Genauigkeit, welche diese neue Restformel gewährt, numerisch darzustellen, und mit jener der 

 gewöhnlielien Formel «= e^'' zu vergleichen, sei n= 12, x=^l. Man findet hierfür: 



die unteren Grenzen : ^ e'^-^ = 0-0000 0000 2088 



n 



X 



^e"+i = 0-0000 0000 2255 

 n ! 



ä" X 



die oberen Grenzen : — r e = 0-0000 0000 5675 



n ! 



•^^n+\-x _ 0-0000 0000 2269 

 n ! 



^+'''+ Ä + Ä + • ■ • + (Syi =2-^1^^ ^1^^ ^^^^ 



e* = 27182 8182 8459 



also der Rest der berechneten Summe : = 0-0000 0000 2261 



welcher in den letzten Stellen durch die Zahlen 2255 und 2269 ohne Vergleich schärfer als, nach der 

 gewöhnlichen Restformel, durch die Zahlen 2088 und 5675 eingeschlossen ist. Die hier entwickelte Formel 

 gibt in der untern Grenze den Rest um 6 Einheiten zu klein, in der obern Grenze um 8 Einheiten der letzten 

 Decimale zu gross; die gewöhnliche Formel dagegen um 173 zu klein und um 3414 zu gross, und doch ist 

 der neue Restausdruck beinahe eben so einfach als der übliche. 

 Für die Function : 



/(aO = log(l-a;) 

 ergibt sich : 



(„)_ 1.2.3 ...(^-l) ^^^^_h_/_^ _ >^+^-l h 



•'(x) {1—xy ' ' n+s ,.{n + s—i) n+s ' 1—x 



[x) 



Dieser Ausdruck bleibt für alle Werthe von s kleiner als 1, wenn h<l —x und x<l ist. 



Da derselbe immer kleiner als ist, so kann man a = :; und >- = l setzen. 



1—x 1 — X 



Man findet daher: 



