﻿Dgt Rest der Taylor sehen Reihe. 



273 



T iniiner bestimmt durch die Gleicluing tang t=/^ , wenn f die Abscisse 

 des Puniites S bezeichnet , und man hat daher wegen 



7' Q =/(^ + /') -/(-r) = h tang r 



Fig. 2. 



die (ilciciiinii. 



/(a.-f/,;=/(x)+/^/ 



(C) 



Da aber i zwisclicn x und x-\-h liegt, so lässt es sich in der Form 

 i^x-\-il' darstellen und hat man : 



/(,r+;o=/H + Ä/^;^ 



Oi) 



Meines Wissens ist dies die einzige geometrische Herleitung, 

 welclie bis jetzt bekannt wurde, und ist man hierbei über den blos 



zweigliederigen Ausdruck rechter Hand nicht hinausgegangen. Es ist nun aber nicht ohne Interesse, 

 zu zeigen , dass auch der Rest der bis zum zweiten , ja sogar der bis zum dritten Gliede fortgesetz- 

 ten Eeihe von Taylor aus geometrischen Gründen hergeleitet werden kann. Betrachtet man nämlich /(a;) 

 als den Flächeninhalt AF (Fig. 3) einer ebenen Curve zwischen irgend einer Anfangsabscisse OA 

 und der Abscisse Oili = .r, so ist die der letztern ent- Fig. 3. 



sprechende Ordinate ^H' =f,^. und tang t=/,£. , wenn 

 wieder t den Tangentenwinkel in irgend einem Punkte S, 

 dessen Abscisse c ist, bezeichnet. Da der Raum A Q 

 = /■(,(■ -f//) ist und das krummlinig begrenzte Viereck 

 M Q einem Rechteck von derselben Grundlinie MN und 

 einer zwischen MP und NQ enthaltenen Ordinate als 

 Höhe gleichgesetzt werden kann, so erhält man schon 

 nach dieser Bemerkung wie vorhin die Gleichung: 



f(u- + k) _/(.•) = ;./.£, = Ä/(l+,,) 



Kuu lässt sieb aber auch das Viereck ÄIQ als aus dem Viereck MT^=hfr^^ und aus dem krumm- 

 linig begrenzten Dreieck PQT bestehend ansehen, welches dem von der Sehne PR gebildeten ebenen 

 Dreieck PUT gleich sein wird, dessen Spitze ie nach der Richtung der Krümmung in einem bestimmten 

 Punkte R unter- oder oberhalb Q liegt. Die zu dieser Sehne parallele Tangente des Bogens ] Q niuss den 

 letztern uothwendig in einem zwischen seinen Eudpunktec befindlichen Punkte S berühren ; bezeichnet also t 

 den Winkel, welchen sie mit der Axe bildet, so hat man die Gleichung: 



folglich : 



f(x+h)-f(x) = hf^^.+^ ./aangr, tangr=/^. =/(.+.,) 



Ä« 



f(x+/^)=f(x)-\-hf^^^ + ^f^^^^ 



h) 



Der Rest der auf die drei Anfangsglieder beschränkten Reihe lässt sieb geometrisch nachweisen, wenn 

 man f(x) als den cubischen Inhalt ^4 7' (Fig. 4) eines Raumes betrachtet, welcher von der zy und x s Ebene, 

 von zwei zur y Axe senkrechten Ebenen AB nnd MP, sodann von einer zu xz und yz unter einem halben 

 rechten Winkel geneigten Ebene EP und endlich obeihalb von einer Cyliiulerfläche begrenzt ist, deren 

 Erzeugungslinien der y Axe parallel sind. Dann ist/(a;-|- h) der Inhalt des Raumes AQ, wenn OK—MC=x 



und OL = ND = x-\-/i a.\so KL =■- C U= M N= C7'= h gesetzt wird, und es drückt //^> den Inhalt der 



