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Anton Winchler. 



Fig. 4. 



Seitenfläche MF, ferner /(^.^ die Ordinate CP=TIi der zu xz parallelen Schnittcurven , endlich /(^j die 

 trigonometrische Tangente des Winkels t, welchen die Berührenden aller derjenigen Punkte S dieser Curven 

 mit der xy Ebene bilden, deren gemeinschaftliche Abscisse = ? ist. 



Dies vorausgesetzt besteht 

 nun der Raum ÄQ aus dem 

 bezeichneten A F = f{x) , aus 



MR = hf,^s , ferner aus dem drei- 

 kantigen Prisma CDTFER = 

 i k^ft ., und aus dem krummflächig 

 begrenzten Räume FERQ, so 

 dass man zunächst die Gleichung : 



/(•r+Ä)=/(aO + Ä/(:,+|/(; 



-li-FERQ 



erhält, worin jetzt noch der Inhalt 

 des bezeichneten Raumes FERQ 

 näher zu bestimmen ist. Denkt man 

 sich durch die Gerade FR eine Ebene so gelegt, dass sie mit der Grundfläche PER ein Tetraeder von 

 gleichem Inhalte wie FERQ einschliesst, so wird diese Ebene den Bogen i^ <? nothwendig in einem zwischen 

 seinen Endpunkten liegenden Punkte S schneiden, und muss es zwischen R und S einen Punkt geben, dessen 

 Tangente jener Ebene parallel ist. Der Winkel r dieser Tangente sowohl als dieser Ebene wird daher durch 

 die Gleichung 



tangT=//" ^^ 



bestimmt und folglich die Höhe des genannten Tetraeders =hf"'{x-^th) sein. Da nun seine Grundfläche 

 JÄ* zum Inhalte hat, so ist: 



PERQ==\h' . \hf. 



5 Jix + th) 1.2.3'^(^ + £A) 



/. 



und es findet somit die Gleichung ; 



/(-+*)=/(-)+ ^4 + o/(I) +'1:^:3/^;.*) 



auch aus geometrischen Gründen statt. 



13. 



Das Verfahren, welches im Art. 6 zur Ermittelung genauerer Grenzen aus dem in Integralform gegebenen 

 Reste der Taylor'schen Reihe benutzt wurde, ist, was hier noch zu bemerken, einer Anwendung auf das all- 

 gemeinere Integral : 



/ 



f (x) t|/ (x) dx 



fähig, zu dessen näherungsweiser Darstellung man sich, wenn ^[x) zwischen den Grenzen der Integration 

 das Zeichen nicht ändert, häufig der bekannten Gleichung: 



