﻿276 Anton Winvhler. 



wie man sieht, blos noch von dem Zeichen des Factors <i/ , ab, wenn unter h irgend ein zwisclien a und 

 h liegender Werth verstanden wird. 



Angenommen nun, es bleibe y beständig positiv, so ist : 



Jf{x)^{x)dx>f{h^)j^{x)dx (4) 



a a 



und stellt ^ eine mit h gleichzeitig; wachsende Function dar, die aber gleichwohl entweder positiv oder 

 negativ sein kann und in dieser Hinsicht eine weitere Unterscheidung nothwendig macht. 



Bleibt y beständig positiv, so ist f(h) eine wachsende Function und muss man, damit (4j in eine 

 Gleichung übergehen könne, f{h) statt f{h^ und h>h^ setzen. Bleibt dagegen ^ beständig negativ, so 

 ist f {h) eine abnehmende Function und muss zu gleichem Zwecke A<h^ gesetzt werden. 



Angenommen, es bleibe f' beständig negativ, so ist : 



(n) 



/> 



'6 /•» 



«p (x)^ (a?) (Ix < f (Ä„) / ^ (x) dx (5) 



und stellt y eine mit h gleichzeitig abnehmende Function dar, die riicksichtlich ihres Zeichens wieder zwei 

 Unterscheidungen fordert. 



Bleibt zunächst ^' beständig positiv, so wächst y (ä) mit h und muss, damit (5) in eine Gleichung 

 übergehe, <f{h) statt y {h^ und h < ä„ gesetzt werden. Bleibt aber y„ beständig negativ, so nimmt <f{h) mit 



wachsendem h ab, und muss, wenn f{k) an die Stelle von y(Ä„) gesetzt wird, um (5) in eine Gleichung zu 

 verwandeln, h > h^ sein. 



Man kann nun die hier unterschiedenen vier Fälle auf zwei zurückführen. Es ist nämlich h>h^ 



zu setzen, wenn ^ positiv und y, positiv, sodann wenn <f'^'^^ negativ und f' negativ ist, also 



y und f" gleiches Zeichen haben. Dagegen ist h<k^ zu setzen, wenn f" positiv und f' negativ, 



sodann wenn y" negativ und f' positiv ist , also f'^^ und f' entgegengesetztes Zeichen 



haben. Dass /i in keinem dieser Fälle < « oder > b werden könne, wenn, wie hier vorausgesetzt wurde, 

 y (h) eine beständig entweder wachsende oder abnehmende Function ist, zeigt ein Blick auf die Relationen 

 (4) und (5). 



Hieraus ergibt sich der Satz: 



Bezeichnet 4- (ic) eine zwischen x = a und x — b endlich und positiv bleibende Func- 

 tion, ist ferner 6>a und wird: 



r 



X ^ (x) dx 



ß 



a 



X 



iresetzt soist, wenncp' undtp" z wischen den Grenzen« und A von j: gleich es Zei- 

 eben haben : 



lf{x)^{x)dx =^ ^,^,(^_l„J •H-^)^^'-^ > 0<.-<l 

 und wenn die Zeichen von 9' und <o'' entgegengesetzt sind: 



J^{x)^{x)dx = -f^^,^,„,^_^,-^J^{x)dx , 0<£<1. 



