﻿Der Best der Taylor" acken Reihe. ' 277 



Dieser Satz unterscheidet sich, wie man sieht, von dem der gewöhnlichen Gleichung (1) wesentlich 

 darin, dass das Argument der Function enger begrenzt, nämlich in die Intervalle a bis h^ und Ä„ bis b ein- 

 geschlossen ist. 



In dem besondern Falle ^{x) = l ist h^^~^ , daher: 

 Wenn <o, , vmd (a gleiche Zeichen haben: 



ß 



(x)dx = (b—a)f U.til^ 



und wenn die Zeichen von f' und f' entgegengesetzt sind: 



J <p (x) dx = {h—a) f U+ £ ^j ■ 



Durch die Einfiihrung des arithmetischen Mittels gelangt man übrigens auch zu einer bemerkens- 

 wertlien Reihe für dieses Integral. 

 Aus der Gleichung : 



, fx) = y (/.) + (.-Ä) y^^^ + A_^ y^^^ + . . . + ^-^^^-^ ^^,, + ^^^^^-^J^ t ,^_^^ dt 



ergibt sich nämlich , wenn man zwischen den Grenzen a und b integrirt : 



TB— 1 (™) 



.7 l(r. — 1\ 



(m—iy.J J ^{x-t) 



, , b-\-a , „ 



und wenn man ä= und m=^2n-\-l setzt: 



J f{x) dx = (6-«) f , +A___ <p + ___^_ <p + . . . + ,, y ^* + aj 



a 2 2 ' 2 ^ 2 



_6+a 



I ^ /^^ / ,2» (2n+l) J. 



a o 



Für denselben Werth von h und für x = a erhält man ferner aus der Gleichung für f (x) : 



b—a ' {b-af " {b—af'' J2„) 



?W = ? b + a 9-y « + a + 9 ^ ?(* + ") — • • • +2.4.6 .47i^(i±^) 



^2 "2 "' 2 2' 



und wenn man a mit h vertauscht : 



1 f 2„ {•2n+lj , 



6— a ' , (J— a)* " , , (6— a)-» (2») 



?W = ?^M:Oj+-2-?(i + a^ +9.4 y^^ + «) + • • • + 2.4.6. .i7if(t±fi) 





3G * 



