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Hiniie Anlass geben, was 7Air Folge hat, ilnss Jede liomogene Glcicliung zwischen Covaiianten gleichfalls 

 'riausfoniiationen in sich selbst !;esfattct, wodurch man nothwendiger Weise zur Untersuchung, resp. Lösung 

 licrurliger Gieicliungeii \i'ranla.s,st wird. Mit Kücksicht hierauf gliedert sich das Nachfolgende in vier Ab- 

 schnitte, von denen der erste die Aufstellung der erwähnten Gruppe von Substitutionen verfolgt, der zweite 

 die Lösungen der üktaedergleiehung entliält, während der dritte die Aufstellung der wichtigsten beim Okta- 

 eder auftretenden Resolventen zum Zwecke hat, und der letzte die entwickelte Theorie auf die allgemeine 

 Gleichung vierten Grades anwendet, und so dieselbe von diesem neuen Standpunkte lösen lehrt. 



Als Quellen benützte ich ausser den Vorträgen von Prof. Klein und seinen zahlreichen Arbeiten in den 

 „Mathematischen Annalen' besonders folgende: Clebscli's „Hinäre Formen" ; Schwarz's Aufsatz „Über 

 hypergeonietrische Reihen" im 75. Bande von Borchardt's Journal für reine und angewandte Mathematik; 

 llermite's Aufsatz: „Sur la resolution de l'öquation du cinquieme degre" in den Comptes rendus, ])S.5S etc. 



Erster Abschnitt. 



§. 1. Das Oktaeder und Tetraeder mit ihren Covarianten. 

 Als Interpretationsgebiet, d. Ii. als Träger sämmtlicher Werthe der coniplexen Variabein k = x-k-yi 

 denke ich mir im Folgenden stets eine Kugel vom Radius ^, welche die .-»y-Ebene der analytischen Geo- 

 metrie auf Seite der positiven s im Coordiiiatenanfangspunkte berührt. LTm dann nämlich den Punkt zu 

 finden, welcher auf der Kugel durch ^j = a;, -i-y,»' dargestellt ist, suche man den Schnittpunkt des Strahles, 

 welcher die beiden Punkte von den Coordinaten {x=^0, y = 0, c = l) und (a; = a3j, y = y^, s = 0) verbin- 

 det, mit der bezeichneten Kugel, wodurch man den Repräsentanten des Werthes |, = «^ -i- ?/, ^■ erhält. Zur 

 grösseren Symmetrie werde ich mich zugleich der iiomogenen Schreibweise bedienen, und also statt '£, immer 



f 



J schreiben, woraus sich z. B. sofort ergibt, dass £, = den Südpol und ^^=0 den Nordpol der Eiuheits- 



kugel bedeutet etc. Ist ferner im Folgenden von einem regelmässigen Körper die Rede, so ist derselbe 

 immer als der Kugel eingeschrieben zu betrachten, und jeder Punkt, der auf einer Seitenfläche eines solclien 

 Körpers liegt, ist durch einen Radius der Kugel auf die Oberfläche derselben zu projiciren, so dass also 

 strenge genonmien unter einem Würfel im Folgenden der Complex jener acht Punkte der Einheitskugel zu 

 verstellen ist, welche die Ecken eines eingeschriebenen Würfels bestimmen. 

 Aus dem Gesagten ergibt sich nun sofort, dass die Function 



welche gleich Null gesetzt, die sechs Wurzeln 0, oo (entsprechend dem t,^=^()), h-1, —1, -f-z, —i gibt, 

 durch die sechs Eckpunkte eines Oktaeders dargestellt wird, indem ja 0, oo den Nord- und Südpol der 



Kugel und ±\ , +' vier Punkte des Äquators bezeichnen, welche von einander um einen Winkel -^ ab- 

 stehen. Es handelt sich jetzt zunächst um die Bildung des vollständigen Formensystems von F. Was zuerst 

 die Invarianten betrifft, so besitzt F nur eine, da ja alle Oktaeder ähnlich sind und zur Deckung gebracht 

 werden können, wenn der Radius der umgeschriebenen Kugel gleich ist in beiden Fällen; sie ist hier, wie 

 sich aus 



ergibt, gleich — . 

 o 



