Das Oktaeder and die Gleicimng vierten Grades. 

 Als Hcss'sche Form erhält man weiter 



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wofür ich immer schreibe: 



xVls Jiicobi'sclic Form von F und 11 rusultirt nach geeigneter Wahl eines conslanten Factors aus 



8/'' %F 



8// ^H 

 3?," "817 



der Ausdruck 



T :EEi C;^+ -et^ - 33 i\ i\ (4* -t- C*) = (C? - 34 41 |J -^ 1^) (|J -t- C*) , 



und mit den drei Formen F, H und T ist das vollständige Formensysteni der Grundform F erschöpft, wie 

 ich im folgenden Pamgraphe zeigen werde. Aus dem Ausdrucke von // folgt, dass ich auch schreiben kann 



H={S[-^2 iA^3 q q + f*) (q - 2 1A^3 Cf f,^ -H CD , 



wobei mau leicht bemerkt, dass der zweite Factor aus dem ersten fliesst, wenn f , , f^, resp. durch e'f, , |„ 



ersetzt werden, d. Ii. in der a,-v/-Ebene tritt an Stelle von 4= >' «t; oder geometrisch ausgedrückt, die 



a; «/-Ebene wird in sich selbst um den Anfangspunkt der Coordinaten als Diclipunkt durch einen Winkel ^ 



verschoben, so dass man auch sagen kann, indem man wieder zur Kugel übergeht: „Der Complex der vier 

 Punkte des zweiten Factors entsteht aus dem Complex der vier Punkte der ersten, wenn mau den letzteren 



um die Axe Nord-Süd der Kugel durch den Winkel -„- dreht." Nun ist aber das Oktaeder — und darum auch 



jede Cüvariante desselben — symmetrisch gegen die drei Axen. welche die Punktpaare 0, cxj; -f-1, —1 und 



H-i', — *■ verbinden, demnach muss auch eine Rotation um die beiden anderen durch — den Complex der 



vier Punkte des ersten Factors in den des zweiten überführen, und weiter eine Drehung durch n um eine der 

 drei bezeichneten Axen die Totalität der vier Punkte je eines der beiden Facloren ungeäudert lassen, u. s. w., 

 woraus man sehr leicht folgert, dass 



ÄSE5?J-2l/"^f5q + £* 



je ein Tetraeder darstellen und beide zusanunen einen Würfel, was von einem anderen Gesichtspunkte aus 

 auch das Folgende lehren wird; erwähnen will ich hier nur, dass man durch eine leichte Rechnung oder auch 

 durch dem Naclistehcndeu analoge geometrische l berlcgungen zur Einsicht gelangt, dass h die lless'sche 

 Form von/ ist, und findet dann als Jacobi'sche Form beider 



t^.i,t,{i\-S^^ = F, 



ein Resultat, das auch leicht geometrisch in Evidenz zu bringen ist. 



In Analogie zum Oktaeder bilden auch die Formen /', h und t das vollständige Formensystem von/, wie 

 sich sogleich ergeben wird, und in einem späteren Paragraphe werde ich analytisch zeigen, dass man statt /'" 



