(jO Anton L'uokta. 



auch // hätte als Grundform zu Gründe legen können, um F und T als Co Varianten von // nachzuweisen; 

 ein Gleiches gilt von //,/uud i, und nur die grössere Einfachheit der Intcrpredation bewog mich, /'" als 

 Ausgangspunkt der Entwicklung zu nehmen, l'berluuipt hätte es keine Mühe, nachzuweisen, dass z. B. F, H 

 und T in Bezug auf das Verhältniss als C'ovarianten von einander als ganz gleichberechtigt zu betrachten sind. 



§. 2. Gruppe der Substitutionen von Fund/. 



Durch die Symmetrie-Ebenen des Oktaeders erhalten wir folgende zwei Coraplexe von symmetrisch ver- 

 theilten Punkten : 



A. Acht Punkte, welche den Mittelpunkten der Seitenflächen des Oktaeders auf der Kugel entsprechen; es 

 sind dies die acht Punkte U, welche offenbar einen Würfel oder zwei Tetraeder/ und h bMden und in 

 ihrer Totalität sich decken, wenn das Oktaeder, d. h. die sechs, durch F=0 auf der Kugel bestimmten 

 Punkte sich decken, was bei gewissen Substitutionen, zu denen wir gleich gelangen, offenbar der Fall 

 ist, und umgekehrt. 



B. Zwölf Punkte auf der Kugel, welche den Kantenmittelpunkten des Oktaeders entsprechen ; es sind dies 

 die zwölf Punkte von T, von welchen das Gleiche gilt, wie von den acht //-Punkten. Eine leichte Über- 

 legung ergibt ferner, dass h und t resp. durch die Mittelpunkte der Seiteuflächen oder Kanten des 

 Tetraeders f dargestellt werden, und hiedurch erhellt einerseits die oben erwähnte Gleichberechtigung 

 der betrachteten Formen und andererseits die Nothwendigkeit der Congruenz von t und F. Selbstver- 

 ständlich kann man auch rechnerisch auf sehr einfache Weise sich die Behauptung klar machen, was ich 

 jedoch übergebe. Aus dem Späteren wird sich ergeben, dass die vier Punkte /, resp. h auf die 

 »y-Ebene sieh in der Weise projiciren, wie es Fig. 1 angibt, wobei der unendlich ferne Punkt der s-Axe 

 als Projectionspunkt angenommen wurde, und die stärker markirten Punkte oberhalb der Äquatorebene 

 der Kugel liegen, die anderen aber unterhalb derselben; in ihrer Totalität bilden sie offenbar den 

 Würfel H. 



Ich denke mir nun die genannten drei Gruppen von Punkten beim Oktaeder, also von sechs, acht, resp. 

 zwölf Punkten, immer zu je zweien auf einem Durchmesser der Kugel liegend, und bezeichne die letzteren 

 bezüglich mit i^, , F^, F^, H^...E^, 2\..,T^. Dann ist klar, dass F^, welches die Axe (-4-1, —1) sein soll, 

 während F^^E (0, oo) und F^^^ (-t-«', — *') ist? auf der Ebene der vier Punkte 0, -+-i, — oo, — i im Mittel- 

 punkte derselben senkrecht steht, und desshalb eine Rotation durch ^, 2-—, 3 diese vier Punkte cyklisch 



vertauscht, während F^^{-+-1, —1) festbleibt, das Oktaeder jedoch in seiner Totalität ungeändert bleibt, 

 und ebenso desshalb auch seine Covarianten // und T und die ausser diesen noch möglichen. Man beachte 

 jedoch hiebei, dass ausser den bezeichneten drei Gruppen symmetrisch vertheilter Punkte keine weiteren exi- 

 stiren. Nimmt man desshalb die drei Axen F^, F^, F^, so geben diese im Ganzen zu 3.3 = 9 Rotationen 

 von der Periode 4 Anlass, da eine solche, 4mal wiederholt, ohne Einfluss ist, wobei jedoch drei davon, 

 welche durch tz drehen, nur die Periode 2 haben, da schon die zweifache Anwendung derselben die Identität 

 gibt. Ebenso erhellt, dass die Axen II^...H^ zu je zwei Substitutionen der Periode 3 Anlass geben, indem 



man um sie durch " , resp. 2 ^ drehen kann, und dabei das Oktaeder wieder mit sich selbst zur Deckung 



bringt; dies gibt 4.2 = 8 Substitutionen. Ausserdem geben die Axen 7\...T^ zu je einer Substitution von 

 der Periode 2 Anlass, durch Dreliungen um n, so dass wir zusammen nach Hinzulügung der Identität, 

 welche einer Drehung durch 2;: um eine beliebige Axe entspricht, im Ganzen 24 Substitutionen beim Okta- 

 eder erhalten, welche dasselbe mit sich selbst zur Deckung bringen. Dass es nicht mehrere gibt, folgt aus 

 der obigen Bemerkung, dass es nur die drei Giuppen symmetrisch vertheilter Punkte, F, H und T gibt. 



Beim Tetraeder erhält man zunächst vier Axen, welche je einen Eckpunkt desselben mit dem Mittel- 

 punkte der gegenüberliegenden Seitenfläche verbinden; es sind dies die vier Geraden //,...//, vom Oktaeder, 



