Dan Oktaeder und die Gleicluiiiy vierten Grades. ö 1 



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in Fii;ui- I : /', //,.../,,//,, d. h. die Diagonalen des Wiufels H, und da man um Jede dureli , resp. 2 ^ 



drohen Ivann, um das Tetraeder wieder mit t^icli zur Deckung zu bringen, so resultircn zunäelist, acht Substi- 

 tutionen iler Periode 3. Ausser diesen tinden sieli uoeii die oben mit F^, l'\, F.^ bezeichneten Axcn, welche 

 je zwei Punkte t verbinden und Träger je einer Substitution der Periode 2 sind, welche wir oben schon her- 

 vorhoben; somit cxistiren beim Tetraeder einschliesslich der Identität im Ganzen 12 Substitutionen, welche 

 alle unter den 24 Oktaedersubstitulionen enthalten sind, also genau die Hälfte derselben, welcher Umstand 

 darin seinen Grund hat, dass wir von F ausgehend, die Covariante // durch Adjunction einer Quadrat- 

 ^vur/.el — 2/^~ trat bei der Spaltung von H auf — in die zwei ganz äquivalenten Tetraeder h und t 

 zerleglen, und in Folge dessen nur jene von den 24 Oktaedersul)stitutionen beim Tetraeder/ betrachteten, 

 welche/ immer nur in/, und darum auch /* immer nur in h überführten, also alle jene ausschlössen, welche 

 / in Ä überführen und umgekehrt, so dass also die Adjunction der Quadratwurzel der analytische Grund ist, 

 ein Umstand, der ja bekanntlich in der Theorie der Gleichungen bei der Reduction nach Galois immer 

 auftritt. 



Nun gibt das Gesagte, dass aus einem beliebigen Punkte der Kugel durch die Anwendung der 24 Okta- 

 eder — resp. der 12 Tetraedersubstitutionen ~ immer ein ('omplex von je 24, resp. 12 zusammengehörigen 

 Punkten wird, und dass der Grad der Vielfacbheit für die Punktgruppen F, H, T; f, /-, t bezüglich folgen- 

 der ist: 4, 3, 2; 3, 3, 2, d. h. F wird bei den 24 Oktaedersnbstitutionen 4 fach aus einem seiner Punkte 

 erzeugt etc. In Folge dessen kann jede solche Gruppe von je 24 zusammengehörigen Punkten, resp. 12 beim 

 Tetraeder, durch F^-hlll^, B^-hxT\ F^^ixT^, resp. durch /<*-4- AÄ'S ß-^x't\ h^-hix't^ dargestellt 

 werden, wenn nur die Constanten A...y.' in geeigneter Weise bestimmt werden. Wird nämlich z. B. l so 

 bestimmt, dass einer von den 24 Punkten einer derartigen Gruppe in F'* -hllP enthalten ist, so erhellt, 

 dass wegen der Invarianz von F^-hlTP bei Substitutionen der Determinante +1 auch alle übrigen 

 23 Punkte nothwendiger Weise in F^-i-'lH'-^ enthalten sind. Hieraus folgt, dass man, weil T", resp. t" auch 

 zwei solche Complexe sind, folgende zwei Gleichungen aufstellen kann, welche für das Folgende sehr 

 wichtig sind: 



T^ = xIP-hlF* ...1) 



<^ = a•'^=«-^-X/■^ •••2) 



wenn nur die Constanten ;r, l, x', X' passend bestimmt werden. Um dies zu bewirken, vergleiche ich die 

 Coefficienten der Glieder von Cf, fj« Cj in 1) "»d von ;'{-, £[" |^ in 2) auf beiden Seiten, und erhalte so 

 für 1) folgende zwei Gleichungen: 



l=a;.l-HX.O 



— 2.33 = a;. 33.14 -H X.l, 



demnach ist x = 'i, X = — 108 und die erste Gleichung lautet 



T^ = H^-108FK ...I) 



Ebenso ergibt sich für die zweite 



f^ — P 

 t^=-L-^. ...II) 



Dass nun mit F, II und T z. B. das vollständige Formensystem von T erschöpft ist, d. li. jede andere 

 noch mögliche Covariante ausser ihnen sich aus F, H und T rational und ganz zusammensetzt, liegt auf de.[ 

 Hand, indem jede Covariante ein Multi])luni von 24 Punkten enthalten niuss — mehrfach zählende Gruppen 

 ausser F, II, T existiren nach dem Obigen nicht — , allein jeder solche Coniplex von 24 zusammengehörigen 

 Punkten lässt sich in der Form z. B. schreiben F'^-i-xIP -^^i P, wenn nur x geeignet bestimmt ist, in Folge 

 dessen ist jede Covariante beim Oktaeder einem Produete von Factoren äquivalent, welche wie F aus F und 



