G2 Anton I'ackta. 



II !?icli aiiriiaiicii etc. Eiu Gleiclies gilt ofifcnbar auch vom Tetraeder _/' mit seiuem Cuvariaiitensystemy, h 

 und l. Be/iiglicli des Vcrhältiii.s.se« von/ und // zu /'' Ijcnicrkc icli hier nur, dass / und h als irrationale 

 Covariantcn des Oktaeders aufzulassen sind, uiul sich dann noth wendiger Weise aus dem Formensysteni von 

 F durch eine Gleichung, die leicht aulziistellen wäre, was ich aber ühergehc, berechnen lassen. Da liiemit 

 der Beweis für die Vollständigkeit des Forniensystems erbracht ist, so übergehe ich nun zur analytischen 

 Oktaeder-, resp. Tetraedcrsubstitution. 



§. 3. Analytischer Ausdruck sämnitlicher Oktaeder-, res]). Tetraedersubstitutionen. 



Ich will nun bei dem explicitcn Ausdrucke der einzelnen 8ubstitufioneu zunächst die nicht homogene 

 Form anwenden, und eine Bezeichnungsweise derselben einführen, welche die Axen der betreifenden Substi- 

 tution ohne Weiteres erkennen lässt. Ich bezeichne nämlich mit 



etc. diejenigen Substitutionen, res]), durch den Exponenten ihre Wiederholung, welche um die Axen (Ooo), 

 (-1-1, —1) etc. drehen. 6o_|_i+, ist dann eine Substitution um eine Axe, welche einen Endpunkt im Mittel- 



punkte des Dreieckes (0, 1, i) hat, der andere ist Mittelpunkt des Dreieckes (oo, —1, — i), und also wie 

 hienach selbstverständlich 



3 " 3 



Hieraus ergibt sich auch sehr einfach, dass ich mit 



O0-I-2 r=: Ooo— 2 



diejenige Substitution der Periode 2 bezeichne, welche zu festen funkten die Mittelpunkte der Kanten (0, J) 

 resp. (—1, oo) hat. 

 Ist jetzt z. B. 



j., af -H ö 



eine derartige Substitution, welche aus dem Punkte t den Punkt £,' maclit, also a, b, c Coustanten, so sind 

 die festbleibenden Elemente derselben oftenbar durch 



<4h^ oder £»^(c-fl)£-6 = 0, ...A) 



oder homogen geschrieben, durch 



?J-^(c — «) f,?j-^.q = 

 gegeben. 



lim jetzt die Substitutionen der Periode 4 zu berechnen, so hat man zunächst für die Substitution S^^, 



weil diese einer Drehung durch — um die Axe Ooo äquivalent ist, offenbar 



d. h., wendet man die Substitution /S,,,;; auf den Punkt C an, so wird aus dem Repräscnlantcn desselben auf 

 der Einheitskugcl ein andci'cr Punkt, dem der Wcrtli /t zukonnnt, unil durch wiederholte Anwendung dieser 

 Substitution übergeht der betrachtete Punkt in die Punkte if, —£,, —i^, C> also in seine ursprüngliche 

 Lage nach vierfacher Wiederholung. Um 6'+i_i zu finden, hat man als Gleichung der festbleibenden Punkte 



r-i = o, 



und demnach ergibt sich durch Vergleichuug von dieser Gleichung mit A) Folgendes: 



h ^\ r — « = , 



