G4 Anton Puchia. 



uiul weiiu niuu beaclitet, dass aus oo wird — 1\ so hat sofort a = — t, und es ist daher 



Oo-t-i+i- = 2 — j^- — z — , Oo+l+.- = — r :— , . ..Üj) 



und selbstverständlich 



Äo + i + i = C- 



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Bemerken will ifli hier, dass man z. R. S,,_)_, auch hätte in analoger Weise durch einen Covariantenpro- 



cess finden künueu, indem man die l'nnkti)aare von F (0, oo) und (h-I, -1) betrachtet, die resp. durch 



<j>^^^l-^l und ^,5EE2?,e, 



gegeben sind, und wobei y, und ■p^ die Discriminante -i-l haben, was nothwendiger Weise statthaben muss, 

 damit die Anwendung erlaubt ist, wie eine leichte Überlegung lehrt. Dann sind nämlich 'f,-+-'|', und y, — -^j 

 Co Varianten des Systems von f^ und ■^^, also sogenannte simultane Covarianten, und man erkennt ohne 

 Mühe, dass sie die Winkel zwischen den Geraden fi^^F^ (§. 2), ^^ =F^ (§. 2) halbiren, und in der That 

 ist, wie in Fig. 2 ersichtlich ist, y, —•>!', diejenige Gerade, welche bei der Substitution -S'o-i, und 'j^, -(-</', die- 



Jenige, welche bei »S'o+i festbleibt. Hieraus würde sich der Wertii von l> und c — a bei den letztgenannten 



zwei Substitutionen ergeben u. s. w. Ebenso konnte man natürlich aucli die übrigen vier Substitutionen der 

 Periode 2 ermitteln. 



Dass übrigens yi+'r', in 'j^, — '^i ül)ergeht, wenn man um die Axe Ooo durch n dreht, d. h. die Substi- 

 tution (S'uoo^ — C (B) anwendet, erhellt sofort, denn dadurch wird aus 



ohne Weiteres 



u. s. w. 



Es gibt aber noch einen dritten Weg, um die Substitution IT aus »SVo, und So-i aliein, oder alle 22 übri- 



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gen Oktaeilersubstitiitionen zu i)ereclinen , und dieser scheint mir der wichtigste aus dem Grunde zu sein, 

 weil er die meiste Einsicht bietet in das gegenseitige Verhältniss und den Zusammeuhang nicht blos aller 

 Oktaeder-, sondern auch aller Tetraedersubstitulionen und selbstverständlich fast wörtlich beim Ikosaeder 

 auch angewendet werden kann, man könnte ihn als kinematischen kurz bezeichnen, wenn dieses Wort liier 

 erlaubt ist. 



Icli denke mir nämlich jedes der aclit gleichseitigen Kiigeldreiecke des Oktaeders — und entsprechend 

 die vier des Tetraeders — in je sechs con.uruente und symmetrische Elementardreiecke zerlegt, deren Eck- 

 punkte von den sämmtlichen Punkten //, F und T geliildet werden. Ein solches Dreieck, dessen Eckpunkte 

 1 , t und oo sind, ist in Fig. 3 dargestellt, nur habe icli statt grösster Kreise der Kugel gerade Linien 

 gezeichnet. Darin sind also A, B, G drei von den 12 7' Punkten, D al>er ein //-Punkt; zugleich habe ich zu 

 den Punkten immer diejenige Substitution hinzugesetzt, von der immer ein Fi.xpunkt mit ihm zusammenfällt, 

 so dass also JD die Substitulion öi+j+oo trägt, die man mittelst des Dreieckes FAD sehr einfach durch (Sooo 



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und 6o_i ausdrücken kann. Denn durch 6o_i wird aus A wieder A, aus B aber D', wo D' rechts von EJ 



V 2 



liegt und mit D symmetrisch liegt in Bezug auf EJ , also der Winkel DED' = — ist; wendet man jetzt 

 Äooo au, so wird aus A jetzt O und aus D' wieder D , d. h. die Combinalion von So-\ nud 6'ooo, wenn man 



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die der ersteren beginnt, macht aus A den Punkt C, lässt aber Ü fest, und da ein Ahnliches von dem Gegen- 

 dreieck von EAi> gilt, so hat man 



Ol+l + oo ^ "— I— ! + ^ So—\ Soca :^ -i i- , 



3 3 T^ ' ^ 



