Das Oktaeder iind die Gleichung vierten Grades. 65 



denn *So_.i macht aus t nach D) ^-^ und S«^ hieraus ij — -, was behauptet wurde, und in der That über- 

 zeugt man sich sehr leicht, dass Si+.+oo die drei Punkte oo, i, 1 cyklisch permutirt. Um jetzt Äf+,+oo zu 



-^ -3 — 



finden, kann man entweder die bereits gefundene Substitution mit sich selbst combiniren, oder auch in 



nachstehender Weise vorgehen. Da Äi+,+„, von der Periode 3 ist, so ist diejenige Substitution, welche die 



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 Wirkung von ihr aufhebt., (SVi+oo, und daher hat man 



3 



'->l-t-i+oo = Oooo «0—1 



Denn um 6o_i Äoo» aufzubeben, habe ich zuerst den Einfluss von <S'uoo zu beseitigen, und dann den von 

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 Äo-i ; dies geschieht resp. durch *S'ii'„, weil .Si^, von der Periode 4 ist, und durch 8„^i, weil diese letzte 



Substitution die Periode 2 hat; mau erhält dadurch dann ans f zunächst — it, nach B), und hieraus auch D') 

 den oben gefundeneu Werth. Es erhellt, wie ich so hätte weitergeben können, denn aus den zwei Substi- 

 tutionen der Eckpunkte E und A fand ich mit Hilfe des Dreieckes EAD diejenige Substitution, deren einer 

 Fixpunkt D ist, und ich gelange, dieselbe Überlegung fortsetzend, mit Hilfe des Dreieckes ADJ zur Keunt- 

 niss der Substitution, welche in J einen Fixpunkt hat, 11. s. w. ; der weitere Gang liegt auf der Hand, und 

 kann also übergangen werden. 



Für die gesuchten Substitutionen H ergeben sich folgende Werthe: 



»5l+,-+co = O_l_,.4.o = l —z -— , Oi+,_o 



|_1 ' -^+^~ ^_ 



O ^ "*" -*- . 02 S ~l~ * 



'+■+ " = ^-l-i+r^ ^= 2 -^ -7- 1 »J 1+iH-O = —p — 



-^— 3 C-Hl —3— 4-+-« 



j, . . . ...F) 



O |_,+co = O—l^i+0 = — e — ;: T— ; Oi_.+ oo = —f :— 



3 3 ^—^ 3 ^-t-* 



— ^-^-l. 02 _ —^—i 



■i± 

 3 



5^^ —h ^-t-1 ~ ? 



so dass also mit Hinzunahme der Identität, welche aus t wieder C macht, durch B), C), D), D') und F) alle 



24 Oktaedersubstitutionen analytisch dargestellt sind. 



Die bei den acht Substitutionen /' festbleibeuden Elemente sind z. B. bei Si+.+o» gegeben durch 



^3 



? = ^'I^Y oder I« - (1 ^- e - ^ = 0, 

 so dass sie in homogener Form geschrieben, lauten : 



l^-(i+0?.?2-^'C| = o 



...G) 



ri+(l-^)t,e,^-^■?| = 0, 



Man beachte, dass man diese auch auseinander erhalten kann mit Hilfe der Substitution it, da sie ja 



in der That geometrisch bei Rotationen um die Axe Ooo durch ^^ ineinander übergehen. Von der Richtigkeit 



der Rechnung kann man sich übrigens dadurch überzeugen, dass sämmtliche (juadiatische Formen von G) 

 zum Product H geben müssen, was zutriül, da man hiefür erhält: 



UeuUsthriflun der inacliem.-uaturw. Cl. XLI. Bd. AbliaiidluuijiMi von Nichtmilgliedern. J 



