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§. 4. Fortsetzung und liomogcne Sehreib weise der Substitutionen. 



Die zuiiäclist sich darbietende Frage nach Aufstellung der Oktaedei'substitiitionen wäre die, ob und 

 warum die gefundenen 24 Substitutionen eine Grujjpe bilden, d. h. dass irgend zwei beliebige in beliebiger 

 Reihenfolge combinirt, wieder zu einer der 24 Substitutionen führen. Ich will den Gang, den man hiebei 

 einschlagen könnte, andeuten, oline den berührten Nachweis, der dann keine Schwierigkeit in der vollstän- 

 digen Ausführung mehr besitzt, in extenso zu führen. Man würde zu diesem Zwecke eine Substitution der 

 Periode 4 und eine der Periode 2, z. B. iSooo «ud iS'o+i nehmen können, und durch sie in der früher augege- 



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benen Weise alle anderen 22 ausdrücken, wodurch die ganze Aufgabe, die noch zu leisten ist, darauf zu- 

 rückgeführt ist, zu zeigen, dass es unter Beachtung von 



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nur 24 von einander verschiedene Substitutionen gibt, was mit Rücksicht auf die zur Berechnung von Äj+,+oo 

 angewandte Methode keine Schwierigkeit hat. Schreibt man statt 



cC-t- d 

 in homogener Form 



lind bestimmt a, b, c, d so, dass die Substitutionsdeterminante ad — hc den Weith -i-l erhält, so erhält 

 man, da Zähler und Nenner auch gleichzeitig negativ genommen werden kann, statt der obigen 24 Substitu- 

 tionen folgende 48; es wird nämlich aus f, und t^ resp., wobei der erste Weith sich auf t,, der zweite auf 

 t„ bezieht: 



±«^C,, ±*""^t, ...1) dr*-?,, rt'-^'l, ...2) ±e^l,, ±>~^ L •••3) 



^ (»t+g, ±-jL^{^,^iQ ...6) 



+ ?„ ±^^ ...8) -t^(f,-^g, -t^^(_£,+y ...9) 



^1 ~H ^1 ~^^t JQ\ '^l~'~J2 ^1 ' '^2 ...11) 



y 



+ /— 2 +/-2 ±l/i 



?i + ^2 ?i-^2 19^ '^^^-^2 



_ _ 12) ^ _ ^« ^« 13) 



±lA2 ' ±/2 ■■■ ±1/2' ±/2 



- '^^ ^» .14) ^^, -^-1= •••^5) 



1/ — «■ ±/ — «■ i/» ±/« 



(^^.+^.)' -T-Tr-^.^^-^^ -^'^^ 



-±^—2t ±\f-2i 



