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und es ist a* nacli einem bekannten Satze für die Multii)licatioii von zwei Determinanten eine Substitution mit 

 der Determinante ^( — 1)* = -i-l, und auch jede Wiederholung von a*, also z. B. i" ist eine Substitution 

 der Periode 3 and von der Substitutionsdeterminante -h1, die mit 5) desslialb zusammenfallen muss, und ai' 

 ist eine Substitution der Determinante -t, die mit u* auf gleiche Linie zu stellen ist, so dass wir also jetzt 

 von rs ausgehend, folgende acht Substitutionen haben (wegen des doppelten Vorzeichens in Zähler und 

 Nenner zählt nämlich jede doppelt): 5', a'*, a, a", während wir früher bei der Determinante -t-1 nur die vier 

 a, a' hatten u. s. w., womit der Nachweis geliefert ist. Diese l'berlegung gilt natürlieli auch beim Ikosaeder. 

 Bezüglich der Zusammensetzung der Substitutionen will ich noch bemerken , dass man z. B. folgende 

 Gleichungen hat: 



Sl^ Sf-i Ä?-,- = SU Sl^ 8f_,= ...=^, 



wobei nämlich die Reihenfolge der Conibiuationen für die einzelneu Substitutionen gleichgiltig ist u. s. w., wie 

 sich geometrisch sehr einfach ergibt. 



Ich übergehe nun zur Untersuchung des Verhaltens von F, H, T, f, h, t gegenüber sämmtlichen Sub- 

 stitutionen der Gruppen, wobei es z. B. selbstverständlich ist, dass aus -F(C, , Q = ^ durch irgend eine Sub- 

 stitution wieder F(^, , tj) = nach der Substitution wird, aber es kann F vielleicht einen constauten Factor, 

 etwa eine Einheitswurzel in Folge der Substitution erhalten haben, und in ähnlicher Weise können sich die 

 anderen notirten Covarianten möglicherweise verhalten, und diese Frage, welche bei der späteren Resol- 

 ventenbildung wichtig ist, muss zunächst erledigt werden, da F z. B. sich ändern kann, um eine Einheits- 

 wurzel als Factor dagegen z. B. F"*- sich vollkommen identisch erhält. 



§. 5. Verhalten der beiden Formensysteme gegenüber den homogenen Substitutionen 



der Determinante -i-l. 



Ich notire zuvörderst die Zerfällung jeder Form in ihre quadratischen Factoren, welche auf der Kugel 

 durch je ein Paar Gegenpunkte gebildet sind, und versehe dieselben mit solchen Factoren, dass die Discrimi- 

 nante derselben, welche bei 



durch b"^ — ac gegeben ist, den Werth -h1 annimmt, was damit zusammenhängt, dass ich auch die Substi- 

 tntionsdeterminante überall als vom Werthe -i-l annahm, wodurch jetzt auch nach der Transformation der 

 quadratischen Form die Discriminante derselben den Werth -i-l beibehält. Bemerken will ich weiter, dass 

 ich die quadratischen Factoren von H und T nicht durch Berechnung, sondern aus den Substitutionen D) 

 und F) finde, indem ich 4 statt ^' schreibe, um die festen Elemente zu finden, welche eben die gewünschten 

 quadratischen Factoren sind; so hat man z. B. aus D) bei Sn^i 



g=: ~/^~'^ oder f*-t-2zfH-l =0, 



wofür ich nach Herstellung der Homogenität schreibe: 



u. s. w., so dass man also hat: 



2 iF= 2 f, fj (ff - Ci) (i\ -^i'-Y=2t = <\f\ :p', ^'s , 

 wo demnach die ^ der Reihe nach die entsprechenden quadratischen Formen sind 



