Du.^ Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. 69 



X p=; j «H-(i+of,f.-'a {■ j^, { «+(1 - '■)i,«.+'a } 



Ay=i^(ff_e?|).-l^(£f+.?|).^|(Cf-2c,t,-£!) 



= X'-X=-X3 •"/.*• 7.5 -Xs- 



Die Spaltung von h und/ in lineare Factoren übergehe ich, weil sie später nicht angewendet wird, und 

 übrigens die Aufstellung derselben keinerlei Schwierigkeiten hat. 



Um nun den Einfluss sänimtlicher Substitutionen auf irgend eine der bezeichneten Formen, gleichgiltig, 

 ob Grundform oder ein quadratischer Factor, leicht zu übersehen und langwierige Rechnungen zu vermeiden, 

 erinnere man sich an Y'ig. o und die hieran geknüpfte Zusammensetzung sämmtlicher Substitutionen aus 

 irgend zwei derselben, z. B. aus Sa^ und So-i- Wie wir nämlich in dem Dreieck EDA von den bekannten 



Substitutionen nm die Punkte E und A — natürlich mit Hinzunahme ihrer Gegenpunkte — zur Substitution 



um D gelangten, so können wir fortfahrend etwa in dem Dreiecke ADJ zu der Substitution von /gelangen, 



dann zu B, K, G etc., woraus folgt, dass der Eintluss sämmtlicher Substitutionen aus dem von 6'o^ und So+i 



t 

 erkannt werden kann, demnach die constauten Factoren in Folge irgend einer Oktaedersubstitution aus 



denen von So^ und Äo+i gefolgert werden können. Sonach sind Äooo und <So+i allein zu betrachten, und 



selbst Sl^ z. B. ist schon aus zu Tage liegendem Grunde ausser Acht zu lassen. Durch diese Betrachtung 

 ist die Rechnung nun ungemein abgekürzt. Es ist aber die erste der beiden fraglichen Substitutionen durch 



und die zweite durch 



1 



(?, + ?,), (-f,+y 



+ 1/2'-' -^" ±\i2 

 gegeben, und wendet mau die erste auf 



an, so ergibt sich als Resultat derselben bei beiden genannten Substitutionen — F, also der constante Fac- 

 tor + 1, so dass also z. B. Sooo, 'S'n+i auf i^ angewendet, -^F^i, — ( — F) geben muss, also alle Oktaeder- 



t 

 Substitutionen entweder -i-l oder —1 einführen, so dass man behaupten kann: „F* bleibt bei allen 



Oktaedersubstitutionen völlig ungeändert." 



Wesentlich verschieden verhält sich H, welches schon in der ersten Potenz sich nicht ändert, und darum 

 ist z. B. auch IP so beschaffen, was nach meinem Erachten darin begründet ist, dass H eine Anzahl von 

 quadratischen Factoren, welche eine Potenz von 2 ist, nämlich 2^, enthält. 



Untersucht man T, so findet sich, dass erst T* sich völlig identisch bei allen Substitutionen reproducirt, 

 was ja von einem anderen Standpunkte aus wieder gefordert ist, nämlich durch die Covariantenrelation I) 

 des §. 2: 



r» = j53— 108i^* 



deren rechte Seite ja nach dem über Fund /f Gesagten ungeändert bleibt. 



