Das Ohtueder und die Gleichung vierten Grades. 71 



Denkt man sirli nun für F, II und T specielle Werthe gegeben, also etwa 



i^ (£, , g = ^ , B = H (er, Q, T (I, Q = c, 

 wobei die Relation gilt: 



so kann man sich die Aufgabe stellen, welches sind die Wertbe von f, , t^, die den A, B, C entsprechen? 

 Die Beantwortung dieser Frage kommt offenbar auf die Lösung der Gleichung 



zurück, worin 



= A' 



f B 



f = ^ und A" 



t:, ' 108^" 



ist. Denn, ist hieraus ; berechnet, so erhält man aus der Gleichung 



den Werth von t^ und dann t, ^tCj Die Gleichung F) nun, der man leicht eine andere analoge für das 

 Tetraeder au die Seite stellen kann, heisst die Oktaedergleichung, und zwar in der Normalforui , weil das 



Oktaeder nach dem ersten Abschnitte in der gebrauchten Form die numerische Invariante — hat. (Vergl. 



Klein, Math. Annalen, IX.) Die wesentliche Eigenschaft der Oktaedergleichung besteht nach dem Früheren 

 darin, dass alle 24 Wurzeln aus einer l)eliebigen derselben durch die 24 Oktaedersubstitutioneii hergeleitet 



werden können: denn ist f' z. B. eine solche, und man wendet auf I) die Oktaedersubstitution —^ an, so 



bleibt // und /•'* ungeändert, und desshalb ist auch —^^ eine von t' verschiedene Wurzel derselben 



u. s. w. Hiemit ist I) als eine sogenannte AbeTsche Gleichung charakterisirt, und lässt sich liierauf die eine 

 algebraische Lösung derselben aufbauen, wie ich bald zeigen werde. In Bezug auf eine zweite Lösung, dureli 

 bypergeometrische Reihen, bemerke ich Folgendes, das auch für den letzten Abschnitt besonders wichtig ist. 

 Nach Klein, Math. Annaleu, IX. Bd. und Gordan, XII. Bd., gibt es nur drei Gruppen linearer Substitutionen 

 einer Veränderlichen, welche 24 Substitutionen enthält. Die erste ist die oben aufgestellte Oktaedergruppe, 

 die zweite entspricht dem Kreistheiluugstypus und ist durch 



gegeben, wobei 



n . . n 

 a = cos ^^^ -t- 1 sin ^s 



ist, und die dritte Gruppe i.st durch die Substitutionen 



t- ßt pi^ ptlt r _ r_ _^ 



dargestellt, worin 



ß = coS-r-HiSm^^ 

 b D 



ist, und diese trägt den Doppelpyramidentypus. Das Wesentliche der Oktaedergruppe bestellt daher in der 

 Eigensciiaft, keine Sui)Stitution zu besitzen, deren Periode grösser als 4 ist, und hieraus erfliesst <ler Satz: 



„Wenn eine Grösse a durcli eine Gleichung \oni Grade 24 dargestellt ist, die von den gegebenen 

 Grössen A, B, C... so abhängt, dass sieh jeder Werth von / aus einem beliebigen der 24 Werthe durch die 



