72 Anton Purhla. 



obigen 24 linearen Oktaedersubstitutionen ergibt, so liängt bei geeigneter Wahl von l, d. Ii. indem man 1 

 eventuell durch einen geeigneten linearen Ausdruck 



a'A-h/y 



c''k-[-d' 

 ersetzt, dasselbe von einer Oktaedergleichung ab, welche in der Form geschrieben werden kann: 



Zu dieser Form werde ich diesen Satz im letzten Abschnitte gebrauchen, um die allgemeine Gleichung 

 vierten Grades mit der Oktaedergleichung in Zusammenbang zu bringen und so zu lösen. 



Völlig identisch mit der obigen Aufgabe ist die folgende, welche die Oktaedergleichung auf dem Gebiete 

 der simultanen Invarianten von 



F (a?, , ajg) , H (*•, , x^ und T (x, , x^ 



mit der linearen Form 



entstehen lässt; es ist nämlich dann 



^X Sl *'^\ •" S« *^9 



in der Gordan'schen Bezeichnung (Gordan: Programm etc.) und A, B, C gegeben, ^, , |j aber zu finden. 

 Ich fügte diese formentheoretische Entstehung des Problems desshalb hinzu, weil es sich in dieser Fas- 

 sung (vergl. Klein, Ikosaeder) erweitern lässt durch Adjunclion einer quadratischen Form, vvelcbes Problem 

 ich in einem späteren Aufsatze lösen werde. 



§. 2. Galois'sche Gruppe und confornie Abbildung. 



Da in Folge der 24 Oktaedersubstitutionen alle Wurzeln der Gleichung I, §. 1 als lineare Functionen 

 einer beliebigen dargestellt werden können, so besteht die Galois'sche Gruppe der Oktaedergleichung aus 

 den 24 Permutationen, welche sich ergeben, wenn mau alle 24 Wurzeln durcli eine derselben ausdrückt, 

 und auf die so erhaltene Function alle 24 Substitutionen anwendet; dies hat zur Folge, dass es z. B. sechs- 

 werthige Functionen von t, gibt, nämlich die im ersten Abschnitte gefundeneu quadratischen Functionen 

 Xi •■•/(«> welche einzeln vierfach zählen und in der That bei vier sehr einfach angebbaren Substitutionen 

 ungeändert bleiben. Auf diesen Umstand komme ich im dritten Abschnitte wieder zurück. 



Eine ganz deutliche Übersicht über die Vertheilung der Wurzeln der Oktaedergleichung hat mau durch 

 die nachstehende Überlegung (Confer. Schwarz I. c), welche die confornie Abbildung der A'-Ebene auf die 

 Kugel mit Hilfe der Oktaedergleichung gibt. Um sich die Verknüpfung von ^ und X durch die Gleichung I) 

 klar zu machen, denke man sich jeden Getauten der Kugel durch die Symmetrie-Ebenen in die schon 

 erwähnten congruenten sechs Elementardreiecke zerlegt und dieselben abwechselnd strafiirt, dann stossen in 

 jedem T-Punkte immer je vier dieser Elementardreiecke zusammen etc., und man erhält auf der nördlichen 

 Halbkugel beistehendes Bild der Fig. 4, wo man nur statt der Geraden immer grösste Kugelkreise zu denken 

 hat. Gesetzt nämlich, man hätte eine Wurzel von I) gefunden, ^', so soll dieser Punkt auf der Kugel 1 dem 



Werthe t,' entsprechen, dann folgt, weil die Oktaedersubstitutionen sich als Drehungen durch ^,2-- und n 



interpretiren, dass auch den Punkten 2, 3... 12 Wurzeln der Gleichung I) entsprechen, und analog ist es 

 auf der südlichen Halbkugel, woraus man ersieht, dass die sämmtlichen 24 Wurzeln sich entweder gleich- 

 zeitig auf lauler sfraflirte oder nicht strairirte Dreiecke verthcilen. Wir werden sehen, wann das Eine oder 

 Andere statthat; es wird sich nämlich eigeben, dass sie sämmtjich bei geeigneter Festsetzung auf den 

 24 straffirten Dreiecken liegen, wenn A' x-hyt auf der positiven Halbebene des X liegt, also y positiv ist. 



