Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. 73 



sonst auf den nicht stvaffirten Dreiecken. Für y = liegt also gewiss eine und darinn alle 24 Wurzeln auf 

 den gemeinsamen Seiten der verscliieden bezeichneten Dreiecke, und nach Späterem, wenn gleichzeitig 

 1 <:a-<:H-oo ist, so sind gleichzeitig acht und nur acht Wurzeln reell, also z. B. a, h, c und d der oberen 

 Halbkugel in Fig. 4. Hieraus lässt sich weiter folgern, dass, wenn zwei Wurzeln gleicli sind, im Ganzen 

 12 Paare von je zwei gleichen Wurzeln existiren, und dass dieses nur der Fall ist für A'= 1 ii. s. w., sowie 

 dass die Oktaedergleichung keine Wurzeln von einer höheren Multiplicität hat, als vier etc. 

 Der Grund, warum nur zwei Gruppen von je 12 Dreiecken bei der Tetraedergleichung 



iü = T 



oder 24, resj). 60 beim Ikosaeder auftreten, ist der, dass die A'-Ebene durch die Gerade y = in nur zwei 

 Dreiecke zerfällt wird, deren gemeinsame Endpunkte für I) bezüglich 0, oo, 1 sind, nämlich die positive und 

 negative Halbebene des X, das im Allgemeinen natürlich als complex zu denken ist. Nach Gauss genügt 

 aber die hypergeometrische Reihe 



als particuläres Integral der Differentialgleichung zweiter Ordnung: 



^ 7-(« + p-t-l)X dr^ _ <x.ß - 



dX ^ A'(l-X) dX X(l-A') ^ '" ' 



und diese letztere besitzt in den Punkton 0, 1, oo Singularitäten, wie sich sehr einfach ergibt. Sind weiter 

 v-;,, y-;j die beiden particulären Integrale von II), und man bildet, da auch av^-f-hr,^, c-o^-hd-n.,, wobei a. b, 



c, d ganz beliebige Constanten sind, particuläre Integrale von II) sind, tiir -' oder gleich allgemein für 



a—^-b 



"2 



die Differentialgleichung dritter Ordnung, welche den letztgenannten Bruch als allgemeines Integral hat, so 



ist - nach Schwarz 1. c. eine solche Function von A", welche die positive A'-Halbebene conform abbildet, 



mit Ausnahme der berührten drei singulären Punkte 1, 0, oo, in welchen Knickungen stattfinden, indem statt 

 der drei Winkel k in der Abbildung folgende auftreten : 



(l-7);r, («-ß);r, (7-«-|3);r, ...III) 



so dass also die positive A'-Halbebene auf ein Dreieck von den Winkeln III) auf der Kugel abgebildet wird. 

 Spiegelt man mit Schwarz dieses Dreieck gegen irgend eine Seite, so ergibt sich ein anderes Dreieck, wel- 

 ches die negative A'-Halbebene abbildet etc., und damit der Spiegelungsprocess sich schliesse, also die 

 durch Spiegelung gefundenen Kugeldreiecke sich lückenlos aneinander reihen und die Kugel nur einfach 

 überdecken, ist nur erforderlich und ausreichend, dass sie mit den erwähnten Elcnu'ntardrciecken der regel- 

 mässigen Körper zusammenfallen, so dass wir zu der Behauptung gelangen, welche unmittelbar die zweite 

 Lösung der Oktaedergleichung bieten wird : 



„Bestimmt man a, ß, 7 so, dass die Winkel III) mit denen der Elemcntardreiecke übereinstimmen, so ist 

 die Oktaedergleichnug durch den Quotienten ^'^ .:| von zwei passend gewählten Integralen von II) gelöst, 



und also 



t_-n{.X) 



r,,{X) 

 die Umkehrung von I)." 



Upiiksohriricn ili'i- inailiem. iialurw. Cl. XT.T. Ild. AhhiUiilUiiiguu von Niclitraitglieilern, K 



