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7i Anton Puchfa. 



Icli komme auf diese Lösung iiacli Anseiiiandersetzun.i;- der algcbraisclicn, auf welche icli jetzt übergebe, 

 zurück. 



§. 3. Algebraische Lösung der Oktaedergleichung. 



Ich will nun zunächst den Einfluss sämmtlicher Oktaedersnbstitutionen auf / und h angeben, und trans- 

 forniire darum diese beiden Formen mit Hilfe der beiden Substitutionen von der Periode 4, resp. 2, nämb'ch 



Soao ^^J? und Äq—I ^ -j r-, 



oder homogen geschrieben 



- _2 1 1 



±«'?,, * '^«; und -^|^=(f,_Q, _^^_2(^i + ^2^' 



dann erhält man folgendes Resultat durch Ausführung dieser Substitutionen: 



„Durch die Substitution S«^ übergehen / und h resp. in — h und — /", und durch die Substitution Ä,, 



übergehen/ und h resp. in — o(.h und —a}j', wo a = [/ 1 ist." 



Hieraus folgt nändich weiter: Die sänimtlichen Wertlie, welche /" und // bei allen Oktaedersubstitutionen 

 annehmen können, sind folgende: 



+/, ±^; ±a/, ±a*/^; +«*/, ±a/', 



wobei immer je zwei aufeinanderfolgende, also z. B. a*y und alt zusammengehören, sodass also/, ä bei 

 allen Oktaedersubstitutionen in sich selbst übergeht, dagegen von / und h erst /" und A*', welche sich aber 

 noch gegenseitig vertauschen können, was ohne Belang ist, da sie sich ja nur durch ±2\J — 3 von einander 

 unterscheiden und darum in gewissem Sinne als ganz coordinirt aui'zufassen sind. Das erste Kesultat, die 

 Invarianz von//; ist eigentlich von früher her schon bekannt, da ja H als invariant nachgewiesen wurde, 

 und H das Product von/ und h ist; das zweite Resultat der Invarianz des Systems /", h^ jedoch ist hier 

 zuerst gefunden und fülirt direct zur Auflösung der Oktaedergleichnug. Da nämlicli die Oktaedergleicluing 

 bei allen Oktaedersubstilutionen in sich übergeht, so muss sie sich durch die drei Functionen//!, ß, h^, und 

 zwar in Bezug auf die beiden letzten, weil diese ja ineinander übergehen, symmetrisch ausdrücken lassen, 

 was in der That zutrifft , denn an Stelle von 



^'^ X ■ ...I) 



erhält man, wenn man die früher aufgestellten Gleichungen 



H=f.h F^ = e= -^^^J^. a. Absch., §. 2) 



berücksichtigt, folgende, welche die verlangte Eigenschaft hat: 



-4/3/^3 _ 



(/3-äY ' 

 oder 



und an Stelle dieser Gleichung kann mau jetzt nach einer kleinen Rechnung folgendes System von zwei Glei- 

 chungen setzen: 



/3(C)_X-2+2l/l_A' Ta^, 



h\K)~ X ■■■ ^ 



