Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. 75 



was zu erwarten war, wcnu man das obige Ergebnis« beaebtet, wonach yj eine zweiwertbige Function ist, 



indem sie liei allen Oktaedersnbstitntionen entweder unverändert bleibt oder in -^ iii)ergclit, woraus folgt, 



(lass die Ukfaederglcieliuug eben durch eine quadratische Hilfsgleiclumg in die zwei Tetraedergleichungen la) 

 und I"') zerfällt werden kann, deren Lösung jetzt keine Schwierigkeit mehr liat, indem an ihre Stelle das 

 System der sechs Gleichungen tritt: 



?*±2lA-3f-+-l I/ X-2 + 21AI-X ,,, 



7=^= = «" K V ' ... 1") 



4* + 2^^- 3 £»-*-! X 



wo immer die beiden oberen und beiden unteren Vorzeichen der linken Seite zusammengehören, und für v 

 die Werthe U, J, 2 einzusetzen sind, a aber eine dritte Einiieitswnrzel ist, wie schon früher. Auch dieses 

 Hesultat, das System der sechs Gleichungen I'') an Stelle der Oktacdergleichuug, Hess sich unmittelbar als 

 nofhwendig erkennen, wenn man bei der nothwendigen Homogenität von I) in Bezug auf/ und h beachtet, 



dass der Quotient ' . nach dem Obigen eine sechswerlhige Function ist, nämlich folgende sechs Werthe 

 h (t) 



annehmen kann : 



h' "" h' "" I? /' "■ f /' 



woraus sich z. B. ergibt, dass I) in Bezug auf h und / symmetrisch ist u. s. w. Die Auflösung des 

 Systems F') durch Benützung zweier quadratischer Gleichungen, und damit die Ermittelung der 24 Wurzeln t 

 auf algebraischem Wege hat gar keine Schwierigkeit mehr und wird dcsshalb übergangen. Obgleich hie- 

 (lurch die Nothwendigkeit der algebraischen Lösung schon vollkommen klar zu Tage tritt, so halte ich es 

 dennoch nicht für überflüssig, auch noch von einem anderen Gesichtspunkte aus sich dieselbe klar zu 

 machen, indem ich die Galois'sche Theorie herbeiziehe, und dadurch einmal den ersten Abschnitt in Bezug 

 auf den Nachweis ergänze, dass irgend zwei Oktaedersubstitutionen zusamniengesetzt, wieder eine der 

 24 Substitutionen liefern, also eine Gruppe bilden, was ich dort nur andeutete, wodurch die Natur des 

 Oktaeders, oder besser gesagt, der Oktacdersubstitutioneu, ganz durchsichtig wird, und ich andererseits 

 im letzten Abschnitte leicht die Gleichung vierten Grades und ihre Gruppe vou Substitutionen ganz analog 

 behandeln kann. 



§. 4. Aufbau der Oktaedergruppe aus einfacheren Gruppen. 



Der Übergang von der Oktaedergruppe zur Tetraedergruppe wurde schon im §. 2 des ersten Abschnittes 

 als bedingt durch die Adjuuction einer Quadratwurzel nachgewiesen, indem geometrisch genommen, um die 

 drei Hauptaxen des Oktaeders, wenn die Drehungen zur Tetraedergruppe gehören sollten, nur Drehungs- 

 winkel durch K zugelassen weiden, bei der Oktaedergruppe aber auch solche durch—, welcher Übergang 

 von Ti zu -^ aber die Lösung einer quadratischen Gleichung erfordert, also die Adjunction einer Quadrat- 



Wurzel. Ich will nun die Oktaedergruppe aus einfacheren durch Multiplicatiou auf einer Seite herleiten, wo- 

 durch der Nachweis der so erhaltenen Oktaedergruppe als Gruppe erwiesen ist (Coufer. Petersen, Algebr. 

 Gleichung, p. 273). Ich gehe dabei von den beiden Gruppen aus: 



C, -C; und C, |, 



dann geben diese, weil sie nur die Identität ^ gemeinsam haben, durch Multiplicatiou die Gruppe, welche aus 

 vier Substitutionen vom Doppelpyramidentypus besteht (§. 1): 



?, -K, \ -\ -"A) 



