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lind deren Axeii die erwähnten drei IlMuplaxcn des Oktaeders sind. Zu diesei- Gruppe A) nehme ich die 

 (1 nippe 



wciciie also die Periode 3 iiat und eine der //-Substitutionen ist. Muitiplieire ich B) rechts mit A), so erhalte 

 ich ausser A) und H) noch folgende sechs Substitutionen C): 



...C) 



welche mit B) zusammengenommen alle //-Substitutionen vom ersten Abschnitt geben. Nimmt man nun noch 

 die Gruppe der Periode 4: 



welche um die Axe (0, oo) dreht, und an deren Stelle mau eine auch z. B. um (-1-1, — 1) hätte nehmen kön- 

 nen, so hat D) mit der Gruppe von V2 Substitutionen, der Tetraedergruppe A), B), C) die beiden Substitu- 

 tionen f und — f gemeinsam, und wenn man daiier die Tetraedergruppe mit der Gruppe D) rechts multipli- 



12 4 

 cirt, so erhält man nur '^ von einander verschiedene Substitutionen , welche, wie man sich durch die 



kurze Ausführung überzeugt, in der That mit der früher gefundeneu Oktaedergiuppe zusammenfällt, und 

 hiedurch ist also die letztere aus den bezeichneten einfachen Gru|)pen aufgebaut und als Gruppe nach- 

 gewiesen. 



Von diesem Standpunkte aus ist es nun selbstverständlich, dass die algebraische Lösung der Oktaeder- 

 gleichung gelingen musste, denn da die Oktaedergruppe jetzt eine Uutergrupiie von 12 Substitutionen, also 

 der Hälfte der sämmtliehen Substitutionen enthält, so muss die Reduction der Oktaedergleichung mit Hilfe 

 einer quadratischen Hilfsgleichung auf zwei andere 



(?., ?„ ±l/3) = ...1) 



möglich sein, worin A rational aus A' gebildet ist; es sind dies die Gleichungen I'') und I"') des vorher- 

 gehenden Paragraphen. Die Tetraedergruppe selbst ist aber wieder aus B) und A) zusammengesetzt, und 

 enthält desshalb die Gruppe A) als Untergruiipe mit nur dem dritten Thcile sämmtlicher Substitutionen, und 

 dessiialb kann 1) mittelst einer Hilfsgleichung dritten Grades , welche hier aus einem naheliegenden Grunde 

 eine reine sein muss, auf die sechs Gleichungen P) des vorigen Paragraphen reducirt werden, welche nur 

 noch die Gruppe A) haben. Da jedoch auch diese noch die Untergruppe C, — | enthält, so kann das 

 System P) noch weiter durcli Hinzunahme einer quadratischen Hilfsgleichung auf das System von 12 reinen 

 quadratischen Gleichungen mit der Gruppe +-£,, —£, reducirt werden, welche schliesslich die 24 Wurzeln | 

 geben. Fassen wir Alles zusammen, so können wir sagen: „Von den 24 Drehungen, welche das Oktaeder 

 in sieh überführen, schlössen wir l)ei der Lösung der Oktaedergleichung successive aus: 1. Die Drehungen 



TT 



durch — um irgend eine der drei /^-Axen — und damit um alle drei — , dadurch erübrigten nur mehr die 

 Tetraederdrehungen, von denen wir 2. irgend eine der Drehungen durch --^ und damit gleich alle aus- 



schlössen; in Folge dessen waren nur noch die drei Drehungen durch k, entsprechend den «-Substitutionen 

 des Tetraeders gestattet, von welchen wir wieder 3. zwei ausschlössen, so dass nur mehr die Drehung 

 durch TT um die Axe (0, ex:)) übrig blieb, also lauter reine quadratische Gleichungen. Damit ist die Lösung 

 auch von diesem Standpunkte begreiflich gemacht und als möglicli nachgewiesen. 



Im vierten Abschnitte werde ich die Deutung der Substitutionen in Bezug auf die Wurzeln x^, x^, x^, x^ 

 der allgemeinen Gleichung vierten Grades geben, und zwar in einem sehr einfachen und schönen Resultate. 



Dass die soeben gegebene Analyse auch eine Darstellung der Lösung der Oktaedergleichung nach dem 

 Verfalircn von Abel (Confer. Abel, Oeuvres complctes par Holmboc, p. 114) geliefert hatte, liegt auf der 



