Day Oktaeder und die Gleichung vierten Graden. 77 



Hand und soll dcs.slialb übergangen werden; dagegen will ich auf den wescntliehen Unferseliicd zwischen 

 Oktaeder und Ikosaeder hinweisen, der sich in der völlig verschiedenen Beschaffenheit der zugehörigen 

 Gruppen äussert, und dessen geometrische Erfassung direct zum bekannten Abel'schen Satze über die 

 Unmöglichkeit einer algebraischen Lösung bei Gleichungen ^onl fünften und liöheren Grade hinleitet; man 

 vergleiche in dieser Beziehung die modificirte G a lois'sche Beweisart dieses Satzes, wie sie Petersen, 

 p. 114 — 117 u. 314 — SIC gibt, und erkennt ohne Mühe dort nur die abstracte Fassung der Theorie für die 

 Gleichung fünften und vierten Grades, deren geometrisches Bild, wie ich in Bezug auf die Gleichung vierten 

 Grades im letzten Abschnitte zeigen werde, geradezu das Oktaeder ist, ebenso wie nach Klein's Arbeit das 

 Ikosaeder mit der Gleichung fünften Grades sich völlig deckt. 



§. 5. Lösung der Oktaedergleichung durch hypergeometrisehe Reihen. 



In §. 2 dieses Abschnittes habe ich bereits gesagt, dass die Oktaedergleichung durch den Quotienten 

 von zwei passend gewählten Integralen der Differentialgleichung II) desselben Paragraphen gelöst wird, und 

 will diese Lösung nunmehr völlig entwickeln, indem ich mir jetzt die Aufgabe stelle, diejenige Wurzel q der 

 Oktaedergleichung I), §. 1, zu finden, welche die positive Maibebcne X ;iuf das Kugeldreicck EAD der 

 Fig. 3 abbildet, aus welcher Wurzel sich dann durch die Oktaedersubslitutioneu alle übrigen sehr einfach 



ergeben. Da dann die Winkel des genannten Elementardreieckes '^, ' , 4- sind, so hat nuiu nach §. 2 



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folgende drei Gleichungen zur Bestimmung von «, ß, 7: 



und hieraus folgt 



und erhält, da nach einem bekannten Aufsatze von Kummer im 15. Bande von Cr eile's Journal die Diffe- 

 rentialgleichung II) des §. 2 unter anderen auch folgende sechs Integrale hat: 



i^(«, ß, 7, X), A-'-T/'(«_7+l, ß_7 + l, 2-7, A') ...A) 



i^(«, ß, a-^ß-7 + 1, 1-A-), (l_A-)ir— Pi^\7-ß, 7-«, 7_«-ß-Hl, 1_A) ...B) 



A--"J^|a, «-7 + 1, «-ß + l,-y, A'-PF[ß, ß-7-Hl, ß-« + l, j.], ...C) 



welche sich resp. auf den Punkt 0, 1 und 00 beziehen, für welch' letztere man noch hat: 



(1-A-)-« f[cc, 7-ß, «-ß + 1, j^] 



(l-A')-3F[ß, 7_«, ß_« + l, ^1-^ 



...C') 



7.1 5 12 I x~-f\^^ ' ^ Yl A^ 



im vorliegenden Falle folgende vier Paare zusammengehöriger Integrale: 



24' 24' 3' J' '^ I24' 24' 3' 



^iä' -w I' '-A^ ^^--^'^'^IM' ä' I' '-''] ■••«) 



I24' 24' 4' Zj' ^1 24' 24' 4' A'J '' ' 



l^ ^^) ^[.24' 24' 4' 1-A'j' ^^ -^) U 24' 24' 4' r^^'l' ■• ■^> 



